终点减起点

这一课的问题

两只足够大的桶都没有漏水，也没有出水口。甲桶开始是空的，乙桶开始已有 5 升水；两桶使用完全相同的进水规律。

前 2 分钟进水速率从 0 均匀增加到 4 升/分，再保持 4 升/分两分钟，最后用两分钟均匀降到 0。

甲桶在第 2、4、6 分钟末分别有 4、12、16 升水。第 2 分钟末到第 4 分钟末又加了多少？乙桶在这段时间新增多少、最后总共有多少？只知道进水速率，能确定任意一只桶的总水量吗？

第 2 分钟末到第 4 分钟末，两桶都新增 8 升。第 4 分钟末，甲桶有 12 升，乙桶有 17 升。 相同的进水过程保证新增相同，却不能抹去起点的差别。

读数里已经包含之前的水

甲桶第 4 分钟末的读数，包含了前两分钟加进来的水。若把终点读数全部算作第 2 到第 4 分钟新增，就重复计算了以前的部分。因此：

$$\text{本段新增}=12-4=8\text{（升）}$$

这里的起点可以是任意观察时刻，并不一定是整个实验的开始。要算第 4 到第 6 分钟新增，就用该段终点减该段起点，得到 4 升。每次先说清“哪一段”，再决定减哪两个数。

两只桶相差的水去了哪里

乙桶最初多出的 5 升一直留在桶中。每一个时刻，两桶都同时加入相同的水量，所以乙桶总比甲桶多 5 升。水量图上，两条曲线形状相同，只是乙桶整条向上移了 5 升。

时刻（分）	甲桶（升）	乙桶（升）	相差（升）
0	0	5	5
2	4	9	5
4	12	17	5
6	16	21	5

正在加载双桶联动。上方表格保留两桶水量对照。

比较同一段新增时，两端都多出的 5 会抵消：乙桶第 2 到第 4 分钟新增也是 17−9＝8 升。曲线高度不同，但同一时刻的陡峭程度相同，这对应相同的进水速率。

两个方向，现在连起来了

如果知道进水速率怎样变化，可以用速率图下的面积求一段新增水量。若已经知道各时刻的水量，就可直接用终点减起点求同一段新增量。这两种方法算的应该是同一件事。

同时，研究水量曲线在某一刻增长多快，又能回到这一刻的进水速率。于是，变化与累积互相联系。但从速率恢复总量时，仍需一个初始值：某个已知时刻桶里已经有多少水。

可以把它想成账本：每天存入相同的钱，两个人今天的余额仍可能不同，因为原有存款不同。只有新增记录，不能凭空知道原先余额。

自测：换一个已知时刻

只知道某桶第 2 分钟末已有 10 升水，且使用本课相同进水规律，能求第 4 分钟末的水量吗？一定要知道第 0 分钟的水量吗？

查看解释

能求，结果是 18 升。把第 2 分钟末当成本次观察的起点，加上随后两分钟新增的 8 升即可。不必知道最早时刻的水量；需要的是某个已知时刻的水量，再累积从那里发生的变化。