谁想出了这些

这一课的问题

前面用过两类方法：从路程研究速度，以及把每段新增路程累积起来。是谁把这些方法发展成微积分？人们当时想解决什么问题？

请用自己的话说明阿基米德、牛顿、莱布尼茨以及后来研究严格基础的数学家各自贡献了什么，不必背诵年份。

微积分的主要创立者是牛顿和莱布尼茨。 他们在 17 世纪分别发展出系统方法，但这项成果有前人的积累，也经过后人的完善。理解历史，重点是看清每一棒解决了什么困难。

第一棒：弯曲边界里的面积

两千多年前，阿基米德研究过圆、抛物线弓形等图形的面积和立体体积。直边图形容易分割计算，曲边却不能简单套长方形公式。他使用穷竭法等几何方法，用已知图形逼近所求图形，并以严格论证排除不正确的面积值。

这与三辆车赛跑中“夹住真值、缩小差距”的思路有联系。不过，古代几何方法还不是今天整套微积分。把前驱叫作前驱，才能看清后来新增的内容。

第二棒：让变化成为可以计算的对象

到了 17 世纪，研究运动、曲线切线和面积的数学家越来越多。牛顿从不断变化的量出发，研究它们变化的快慢。他较早形成主要思想，把切线、面积等问题组织进相互联系的方法，并将相关数学用于物理研究。

莱布尼茨独立发展了自己的微积分方法，较早公开发表相关论文：1684 年发表微分工作，1686 年发表积分工作。他设计的符号便于记录和交流，许多一直沿用至今。

你做过的“小车路程→这一刻的速度”对应研究变化率；“速度→一段路程”对应累积。两位数学家的关键贡献，是把许多看似不同的问题联系成系统，而不只是分别算对一道题。

正在加载数学史时间线。完整历史讲解保留在正文。

这些符号在记录什么

以后会见到 d 和 ∫。d 常用来记录微分，例如 dx、dy；把“某个量怎样变化”写进数学表达。∫ 来自表示求和的字母 S 的拉长写法，用来记录累积。这里先认识它们的用途，不把它们当作今天要学习的计算规则。

“导数”是瞬时变化率的正式名称之一，“积分”用来研究累积。前面反复说的“越来越接近，且能说明误差有多小”，会在后续数学中用极限严格表达。先有要解决的问题，再出现方便表达的名称和符号。

第三棒：很小的数能当成零吗

你在第 5 课可能问过：h 始终不为零，为什么又能确定答案是 4？这也是微积分发展中需要澄清的基础问题。不能一边除以 h，一边把它直接当作零。

19 世纪，柯西、魏尔斯特拉斯等数学家进一步发展极限、收敛等严格基础。课程里用的“误差正好等于 h，因此可以按要求控制误差”，已经是在朝这个方向思考。它依靠确定的关系，不是忽略一个看起来很小的数。

微积分的历史意义由此更清楚：人们有了一套通用方法，研究变化的快慢与累积的多少；配合物理规律和实际数据，能够解释和预测运动，解决工程中的许多计算问题。

自测：用三句话交接这场接力

分别用一句话说出“古代逼近”“17 世纪建立体系”“后来严格化”解决的事。不要只背三组名字。

查看参考表达

古代数学家用可计算的几何图形逼近难求的面积和体积。牛顿与莱布尼茨分别建立系统方法，把变化率与累积联系起来。后来的数学家把趋向和误差等问题说得更严格，让方法的依据更清楚。

历史资料

本课依据圣安德鲁斯大学数学史资料库 MacTutor：微积分的发展、牛顿、莱布尼茨、魏尔斯特拉斯。时间线用于理解贡献先后，不要求背诵年份。