初一数学·约 18 分钟·三维实验

求变化率，还是求累积量

把小车的两类问题迁移到水、电、人口与药量，再用三维方片夹逼正四棱锥体积。

这一课的问题

面对一个新问题，怎样判断它是在“从总量找变化率”，还是“从速率找累积变化”？累计的过程只能沿着时间发生吗？

请把后文八个生活情境分类，说明每种情境的两个量和单位；再观察正四棱锥的分层演示：用内外两叠方片估计它的体积，怎样解释底面积乘高之后为什么还要乘三分之一？

判断问题的方向，要先说清已经知道哪个量、想求哪个量。 从一段总量变化除以间隔，得到平均变化率；继续缩短间隔并研究趋向，才能讨论瞬时变化率。从速率逐段累积，得到总量的变化；要求最终总量，还需要起始值。

八个情境，先说方法再核对

“想求某一刻”还需要足够细的变化规律；有限几次总量读数通常只给平均值或估计。带着这个区别分类：

记录了汽车每个时刻的里程，想知道这一刻跑多快。
记录了汽车随时间变化的速度，想知道这一小时走多远。
每分钟读一次电表，想知道每分钟的平均用电功率。
已知电器功率随时间变化，想知道一天消耗多少电能。
已知一个城市各年的总人口，想知道各年的平均净增加率。
已知水池的净进水速率，想知道十分钟后有多少水。
已知体内药量随时间变化，想知道某时刻药量下降多快。
已知药物进入体内与被清除的净速率，想知道一段时间后的药量。

查看八题的分类、单位与条件

总量到变化率：路程（米）→速度（米/秒）。瞬时速度需要研究越来越短窗口内的平均值。
速率到累积：速度（千米/时）×时间（时）→路程（千米）。这里速度按行进快慢记录，总路程不因方向改变而减少。
总量到平均变化率：电能（千瓦时）的差÷时间（时）→平均功率（千瓦）。分钟要先换成小时，不能混用单位。
速率到累积：功率（千瓦）×时间（时）逐段相加→用电量（千瓦时）。
总量到平均变化率：人口差（人）÷间隔（年）→净增加率（人/年）。还不能只凭年度记录知道某天的速率。
速率到累积：净进水速率（升/分）累积为水量变化（升），再加初始水量。净流量为负时表示流出多于流入。
总量到变化率：药量（毫克）→变化率（毫克/小时）。下降时带负号；有限采样得到的仍是平均变化率。这只是读图例子，不用于决定用药。
速率到累积：净速率（毫克/小时）累积为药量变化（毫克），还需原有药量，且正负方向应统一。

累积也可以沿着高度发生

正四棱锥底面是正方形，顶点在底面中心正上方。用平行底面的平面切它，截面也是正方形。先从正面平视：轮廓是一个上尖下宽的三角形，每个截面在这个视图中是一条水平线，线的长度就是截面正方形的边长。

为什么边长能按高度比例计算？两侧斜边是直线，倾斜程度不变；每向下走相同的竖直高度，两边就各向外扩相同的宽度。从尖顶开始，下降了总高度的一半，宽度也只扩到整条底边的一半；下降到总高度的四分之一，宽度就是四分之一。可以拿直尺在方格纸上画这个侧视三角形，按等高的水平线核对。这里比较的是从顶点向下的竖直高度，不是沿斜边走的距离。

边长变成一半时，面积是“一半×一半”，所以变成底面积的四分之一。边长按比例变化，面积要把这个比例乘两次，不能也直接取一半。

将高度均分成 n 层。每层都在上窄下宽地变化：用较小端的正方形面积乘层厚，得到装在锥体里面的方片；用较大端计算，得到包在外面的方片。内叠不超过真实体积，外叠不小于真实体积。 这里累积的是“截面面积×高度间隔”，单位为立方单位。

正在加载棱锥切片。下方保留内外体积界限的完整解释。

先旋转观察方片怎样包住棱锥，再增加层数。有限层数仍有空隙或多余部分；画面看起来贴合，不代表误差已经为零。

三分之一从哪里来

把“底面积×高”当作完整长方体的体积。均分成 n 层后，每层厚度是总高度的 1/n。外叠从顶端往下，用的边长比例依次是 1/n、2/n，直到 1；内叠则从 0 开始，最后到 (n−1)/n。

比较两份体积账本，中间相同的方片都能配对抵消，只剩外叠最下面一片：它的面积等于底面积，厚度是总高度的 1/n。所以两叠相差完整长方体体积的 1/n。层数翻倍，这个差就减半。

这说明上下界会靠近；要说明靠近的为什么恰好是三分之一，还要把这些方片加起来。下面从数小方块开始推，不要求提前会平方和或立方展开。它是选读的代数延伸，可以分几次学。主线先抓住：内外夹住真值，层数越多，能保证的误差越小；三分之一的精确依据在下面。

选读延伸：从小方块和配对开始，慢慢推出三分之一

第一步：需要加起来的是哪些数

用 B 记底面积、H 记总高度。每层厚度为 H/n。若某片边长是底边的 k/n，它的面积就是 B×k²/n²，再乘厚度，体积为 BH×k²/n³。这里 k² 就是 k×k，n³ 就是 n×n×n。

内叠从 k＝0 加到 k＝n−1。暂时用 S₂ 记住这一串平方的和。下标 2 只是提醒我们加的是平方；现在的任务是算清 S₂。

S_2=0^2+1^2+\cdots+(n-1)^2

\frac{V_{\text{内}}}{BH}=\frac{S_2}{n^3}

第二步：正方体变大时，多了哪些小方块

想象一个边长为 k 的旧正方体，把它放在一个边长为 k＋1 的大正方体的同一个角。三个方向都多出厚度 1。新增部分可以不重不漏地分成：三片 k×k×1 的薄片、三条 k×1×1 的长条，以及一个 1×1×1 的角块。

三片各有 k² 个单位小方块，三条各有 k 个，角块有 1 个。所以大正方体比旧正方体多的体积，能用两种方式记成：

(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1

这条关系来自数新增部分，不要求先学会展开立方。k＝0 时，可以从没有旧方块开始，新增的就只是那个角块。

第三步：先试四次长大，看首尾怎样留下

取 n＝4，让正方体从边长 0 依次长到 1、2、3、4。每一次新增分别是：

旧边长 k	这次新增体积	把立方数算出来
0	1³−0³	1−0
1	2³−1³	8−1
2	3³−2³	27−8
3	4³−3³	64−27

把右列相加，前一行加上的 1，下一行又减去 1；8、27 也各有一次加、一次减。它们互相抵消，最终只剩 64−0，也就是最后的大正方体体积。

同时，把上一步的“3k²＋3k＋1”连加四次，就得到：

4^3=3(0^2+1^2+2^2+3^2)+3(0+1+2+3)+4

末尾的 4 来自四次各加一个角块。若一直长到边长 n，中间照样抵消，只剩 n³；一共 n 次长大，就有 n 个角块。再用 S₁ 记住 0＋1＋…＋(n−1)，得到：

n^3=3S_2+3S_1+n

所以先扣掉长条和角块，剩下的就是三份平方和：

3S_2=n^3-3S_1-n

第四步：把普通的和倒过来配对

S₁ 里有 n 个数，包括开头的零。把同一串数倒着再写一次：

S_1=0+1+\cdots+(n-1)

S_1=(n-1)+(n-2)+\cdots+0

上下对齐相加，每一对都是 n−1，一共有 n 对。所以两份 S₁ 等于 n×(n−1)，一份就除以 2：

S_1=\frac{n(n-1)}2

例如 0、1、2、3 与 3、2、1、0 配对，每对是 3，四对共 12；原来一份和就是 6。这说明公式中的 n 和 n−1 分别从哪里来。

第五步：把配对结果放回体积账本

将 S₁ 的结果代入第三步，先求三份平方和：

3S_2=n^3-\frac{3n(n-1)}2-n

这里 n(n−1)＝n²−n，表示 n 份 n 各去掉 1。代入后，后两项中的“加三份 n 的一半，再减 n”合起来是加 n 的一半：

3S_2=n^3-\frac32n^2+\frac12n

先除以 3，得到 S₂；再除以 n³，就得到第一步需要的内叠体积比例：

\frac{V_{\text{内}}}{BH}=\frac{S_2}{n^3}=\frac13-\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^2}

外叠比内叠多的比例已算过，正好是 1/n。因此给上式加 1/n，便得到：

\frac{V_{\text{外}}}{BH}=\frac13+\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^2}

最后一步：把多余的差控制得任意小

n 增大时，1/(2n) 和 1/(6n²) 都越来越小，并且可以通过选择层数，让它们的和小于任何指定的正误差。内叠比例从三分之一下面靠近，外叠比例从上面靠近；真实比例一直夹在两者中间，因此只能是三分之一。

所以棱锥体积是底面积×高×三分之一。没有哪一次有限切片让误差突然变成零；精确结论来自可以一直缩小的上下界。

这次把时间换成高度，原来的“分段、估计、累积、缩小差距”仍然有用。能辨认这个共同关系，比记住一个新的故事更重要。