毕业任务：读懂一只正在进水的桶

毕业任务：两张表互相说了什么

一只足够大的桶只有进水、没有出水或漏水。在这 5 分钟内，进水速率连续变化，而且一直不减小。下列读数视为准确值。

时刻（分）	进水速率（升/分）	桶内水量（升）
0	0.0	20.0
1	0.3	20.1
2	1.2	20.8
3	2.7	22.7
4	4.8	26.4
5	7.5	32.5

1. 先只看速率列，给前 5 分钟的新增水量找一个下界和一个上界。为什么真值一定在其中？若每半分钟读一次数，上下界的差怎样变化？
2. 再遮住速率列，只看水量列，求每一分钟的平均进水速率。第 3 分钟这一刻的速率能定在哪个范围内？可以据此确定一个精确数吗？
3. 最后合看两列，检查每分钟的平均速率是否落在这一分钟两端的速率之间，实际新增水量是否落在上下界之间。
4. 用一分钟口头讲解这两个问题怎样互相联系，并说明有限的读数还不能告诉我们什么。

先独立完成题目，再逐项展开核对。可以画长方形、列算式，也可以录一段自己的口头说明。这次的目标是把方法迁移到新水流，说明答案和成立条件。 页面做完，不等于已经能够解释。

正在加载水桶任务。可以先用上方读数表独立作答。

第一关：只看速率，夹住新增量

每分钟内的速率一直不减小，哪端读数可以作为这一分钟的下界？哪个可作上界？先在纸上画五对宽为 1 分钟的长方形，再将面积相加。

核对上下界与必要条件

用每分钟开头的读数乘 1，再相加，得到下界 9.0 升；用每分钟末尾读数得到上界 16.5 升。它们夹住的是新增水量，还不包括最初已有的水。

理由是全过程速率不减小，每分钟开头不比中途快，末尾不比中途慢。仅仅表里的几个数依次增大，并不能证明中间从没变慢；本题明确给出单调条件，才能保证这两端可以夹住每一分钟。

第二关：多读几次，能改善多少

假如改为每半分钟读一次，先不要猜真值。只用“末速率减初速率，再乘每段时长”，求新的上下界差。这个计算需要知道全部新增读数吗？

核对误差控制

每分钟读一次，上下界差为 7.50 升。等宽小段的中间读数相互抵消，所以差等于末初速率之差乘段长；改成每半分钟，差为 3.75 升，缩小一半。要分别算出新的上界和下界，需要新增的中间读数；要知道两界相差多少，只用两端速率和段长就够。

第三关：遮住速率，只用水量反推

每一分钟新增水量，都是该分钟终点减起点。再除以 1 分钟，得到这一分钟的平均速率。注意“第 3 分钟这一刻”指 t＝3 的瞬间，“第 3 个一分钟”指从 t＝2 到 t＝3 的整段，二者不同。

核对平均速率与 t＝3 的范围

时间段（分）	平均速率（升/分）
0 到 1	0.1
1 到 2	0.7
2 到 3	1.9
3 到 4	3.7
4 到 5	6.1

在已知速率一直不减小的条件下，t＝3 前一分钟的平均速率不大于这一刻，后一分钟的平均速率不小于这一刻。因此只读水量列，能确定此刻速率在 1.9 与 3.7 升/分之间，不能从这些有限水量读数确定唯一精确数。

现在重新打开速率列，t＝3 的直接读数是 2.7 升/分，它确实落在范围内。这个精确读数来自额外提供的速率表，并不是仅靠水量表反推出来的。要缩小反推范围，可以更密地记录这一刻附近的水量。

第四关：两列相互一致吗

检查每分钟平均速率是否落在该分钟的两端速率之间，再比较实际新增水量和第一关的界限。

核对结果与不能越过的结论

五个平均速率都在对应的两端读数之间。5 分钟实际新增 12.5 升，处于 9.0 与 16.5 升之间。上下界的中点是 12.75 升，却不是实际新增量：取中间可以是一种估计，不能无依据地称为精确答案。

这些检查说明两列数据与所给条件相互一致，没有出现矛盾。但有限读数不能唯一还原两次读数之间的全部水流过程，不能声称它们已经证明每一瞬间发生了什么。最后的总水量还要加上初始的 20.0 升。

用自己的话完成课程

请把四句话补完整：“我用端点夹住新增水量，因为……”“我能缩小误差，只需……”“水量相减再除以时间，得到的是……”“只知道速率还不知道总量，因为……”。再解释为什么水桶与小车使用了同样的关系。

给陪学的大人：孩子若卡住，先让他只画第一分钟的两个长方形，或只算一段水量差。记录具体缺口；无需代替他讲完。能说明条件、单位和方法如何迁移，才是本课需要的证据。