把观察窗口缩小

小车只向前行驶，t 秒时走过 t × t 米。现在要研究第 2 秒这一刻有多快。

把观察窗口的长度记作 h 秒，其中 0 < h ≤ 1。分别计算第 2−h 秒到第 2 秒、以及第 2 秒到第 2+h 秒的平均速度。取 h 为 1、0.1、0.01 比较结果：两边的数向哪里靠近？图上的两点连线又怎样变化？

全程平均速度把过程合在一起。现在我们只关心第 2 秒附近：把时间窗口缩短，让远处的变化少掺进来。

为什么要从“附近”开始

我们会求一段时间的平均速度，却还不会直接求某一刻的速度。可以先保留会算的方法，只改变所看的时间段：从第 2 秒开始，看接下来 1 秒、0.1 秒，或者 0.01 秒。

用字母 h 给这段时间长度起名字。h 可以变得很小，但每次都要大于 0；否则就没有可用来除的时间长度。

同一时刻，可以从左右两边观察

“右侧窗口”从第 2 秒到第 2+h 秒；“左侧窗口”从第 2−h 秒到第 2 秒。左右指时间图的位置，与小车转弯无关。两种平均速度都用这一段的路程增加量除以 h。

窗口 h（秒）	左侧平均速度（米/秒）	右侧平均速度（米/秒）
1	3	5
0.1	3.9	4.1
0.01	3.99	4.01

右侧窗口包含较晚的时刻，小车一直在加速，所以它给出的平均速度偏大。左侧包含较早的时刻，所以平均速度偏小。缩短窗口时，两侧的数分别从上面和下面靠近 4。

先留意“靠近”的对象：变化的是一段时间的平均速度，我们正在追问的是它们共同趋向的那个数。表里的每个结果仍是平均速度，并没有因为 h 很小就自动变成精确的瞬时速度。

表格变数，图上变连线，是同一件事

固定图上第 2 秒的点，移动另一端的点。两点的横向间隔缩小，就是 h 变小；连接两点的直线所表示的平均变化率，也随之改变。

表格与图形不是两种计算。它们把同一次窗口操作分别显示为数值和方向，让我们看见两边的连线也在靠近同一种陡峭程度。

自己动手

先不拖动：预测 h 从 0.1 变为 0.01 时，左侧结果会增加还是减少，右侧呢？操作后核对。再选另一档正数 h，观察它们是否仍在 4 两边。

下一课要补上真正的理由：看到三个小数接近 4，还不能证明所有更小窗口都如此。我们会算出“平均速度与 4 的差”究竟是多少。

说清理由再继续

能否把 h 直接改成 0，然后用“0 米 ÷ 0 秒”得到这一刻的速度？

查看解释

不能。除法在问“哪个数乘以分母得到分子”，而任何数乘 0 都是 0，因而 0÷0 无法确定唯一结果。我们必须保持 h 大于 0，研究这些合法的平均速度在窗口缩短时趋向哪里。