为什么一定是 4

小车在 t 秒时走过 t² 米。研究第 2 秒右侧长 h 秒的窗口，其中 h > 0。

用边长从 2 增到 2+h 的正方形，解释这一小段新增路程的数值；由此求平均速度与 4 的差。怎样选 h，才能让差小于 0.001 米/秒？我们始终没有让 h 等于 0，为什么仍能确定第 2 秒的瞬时速度？

上一课发现两侧平均速度都靠近 4。这次要解释：它们与 4 的差正好由窗口长度 h 控制，因此可以按要求算得任意接近。

为什么换成正方形

小车的路程数值等于时间数值的平方，而正方形面积也等于边长与自身相乘。因此可以借正方形的面积变化来拆开这道乘法。

这是表示数值关系的方格模型：面积数值对应路程数值，边长数值对应时间数值；汽车并没有开过一块正方形地面，也不是把平方米直接变成米。

三块新增面积，给出一般理由

原正方形边长为 2，面积为 4。边长增加 h 后，新增部分有三块：两条长方形各长 2、宽 h，面积各为 2h；角上小正方形边长 h，面积为 h²。因此新增面积是 4h+h²。

对应到小车，这 h 秒新增路程的数值是 4h+h²，除以时间 h，平均速度为：

$$\frac{4h+h^2}{h}=4+h\qquad(h>0)$$

理由也能用分块说：4h 平均分到 h 秒是 4；h² 平均分到 h 秒是 h。整个推理没有要求提前会完全平方公式。

“想多准”现在变成了具体要求

右侧平均速度为 4+h，所以它与 4 的差正好是 h。要求差小于 0.001，就选 0 < h < 0.001。例如 h 取 0.0001，差也为 0.0001。取 h = 0.001 只能得到“等于”，不满足“小于”。

再看左侧：从边长 2 的正方形去掉两条宽 h 的边，角上重叠的小块要扣回一次，所以减少面积为 4h−h²。除以 h 后得到 4−h，同样与 4 相差 h。这里还要保证左侧时间不早于出发，即 h ≤ 2。

h 不为零，为什么答案还能精确

没有哪一个正的 h 会使 4+h 恰好等于 4。我们确定的是这些平均值共同趋向的数，不是宣布某个有限窗口已经精确。

如果选另一个不等于 4 的数，它与 4 就有一段固定距离。总能把 h 选得比这段距离的一半还小，使两侧平均值都更靠近 4。那另一个数就不能是共同趋向的结果。因此只有 4 符合要求。

我们把这辆车第 2 秒这一刻的速度叫作瞬时速度，它是路程在这一刻的变化率。以后会用“导数”系统研究这种关系。

自己动手并解释

先选一个满足误差要求的 h，再操作正方形，指出两条长方形与角上方块分别对应算式哪一项。不要只报出一个小数。

核对：为什么不能说“把 h 当成 0”？

每次算平均速度时 h 都大于 0，除法才有意义。精确的瞬时速度来自平均速度可按任意精度趋向同一个数。我们控制的是误差，没有把正数假装成零，也没有使用 0÷0。