每一刻的速度连成新图线

小车在 t 秒时走过 t² 米，t ≥ 0。已经知道第 2 秒的瞬时速度为 4 米/秒。

在 t = 0.5、1、3 秒重复缩短窗口的方法，找出各时刻的瞬时速度，并画出时间—速度图。第 0 秒只能向哪一侧取窗口？路程图的切线与速度图上的点有什么联系？

第 2 秒的结果只是一个点。把相同方法用到每一刻，得到的速度可以组成一张新图。

把边长 2 换成任意时刻 t

上一课的正方形拆法不依赖边长恰好为 2。换成边长 t，增加 h 后仍多出两条长方形和一个角上方块：两条面积各为 th，角上为 h²。

新增路程的数值因此是 2th+h²。除以 h，右侧平均速度为 2t+h；只要 t > 0，并让 h 不超过 t，左侧同样得到 2t−h。

$$\text{右侧：}2t+h\qquad\text{左侧：}2t-h$$

h 越小，两侧与 2t 的差就越小，所以这一刻的瞬时速度为 2t。这一步使用了每个 t 都适用的分块关系，因而比只算几组数多了一条一般理由。

两张图，各自回答什么

时刻（秒）	路程（米）	瞬时速度（米/秒）
0	0	0
0.5	0.25	1
1	1	2
2	4	4
3	9	6

路程图的纵轴是米，回答“已经走了多少”；速度图的纵轴是米/秒，回答“此刻有多快”。新的点组成一条过原点的直线，写作 v = 2t，v 是速度数值的名字。

第 0 秒是运动开始的边界，主例没有提供出发前的记录，因而只用右侧窗口：平均速度是 h，h 越小越接近 0。这里说的是出发时的右侧瞬时速度，不能虚构一个负时间窗口。

切线就是这一点附近的变化方向

连接曲线上两个点的直线叫割线。固定其中一点，让另一点靠近，它们的连线方向也趋向一个确定方向。经过固定点、取这个方向的直线叫这里的切线；其陡峭程度表示该时刻的瞬时变化率。

对这条光滑曲线，放大一点附近足够小的范围，可以用切线作局部近似。只是近似：离开这一小段，曲线与直线会分开。切线也不意味着整条直线只能与曲线相交一次。

自己动手

在路程图上改变时刻，比较该点的切线与速度图上的点。先预测：路程图更陡的时刻，速度点应该更高还是更低？再用放大观察核对局部近似。

带尖角的图线要另外检查：角的两侧可能趋向不同的方向，放大也不会消除尖角。这种理想化模型在尖角时刻没有一个统一的瞬时变化率，不能把任何曲线都说成局部直线。

说清理由再继续

为什么主例中“路程图最陡的时刻”和“速度图最高的时刻”一致？

查看解释

在相同坐标刻度下，路程图切线的陡峭程度就是该时刻的瞬时速度；速度图则把这个速度数值直接画成高度。两张图在表达同一个量，所以主例中最陡与最高对应同一时刻。不能把速度图的高度误读成路程。