仪表盘上的两个表

两辆理想化小车同时从出发点向前行驶：一辆速度始终不变，另一辆越来越快。它们都在 3 秒末走到 9 米处。

观察里程表与速度表：两个表分别记录什么？对于加速的小车，只知道全程 9 米用了 3 秒，能否说第 3 秒这一刻的速度就是 3 米/秒？说明理由。

一个表记录已经累积多少，另一个表记录此刻变化多快。 这两个问题很不一样，但它们会在这门课里连接起来。

先认清两个仪表

里程表显示已经走过的路程。车走过的新路不断加进去，所以它记录的是累积量。速度表显示此刻行驶得多快；速度越大，同样短的一段时间里通常走得越远，所以它记录的是路程变化的快慢。

这几课的小车只向前走，出发点记作 0。因而“距出发点的位置”和“已经走过的路程”数值相同。以后研究倒车时，会把它们分开。

匀速车为什么容易算

如果速度始终是 3 米/秒，意思是每一秒都走 3 米。3 秒累积的路程就是 3 + 3 + 3，也就是 3 × 3 = 9 米。“速度 × 时间”把重复累积写短了。

它的关键条件是所用速度在这一段时间里保持不变。如果某一秒已经加速，就不能仍按原来每秒走的路程计算全段。

加速车让我们多了两个疑问

我们的加速车遵循一个理想化规律：时间数值与自己相乘，得到已经走过的路程数值。用字母简写为 s = t²，其中 t 表示秒数，s 表示米数；t² 就是 t × t。它在 1 秒时走了 1 米，2 秒时走了 4 米，3 秒时走了 9 米。

第一个疑问：知道各时刻的路程，能怎样求某一刻有多快？第二个疑问：如果只有速度的变化记录，又怎样把路程累积回来？

全程 9 米除以 3 秒，得到的是这整段时间的平均速度。它把全程平均分配到每一秒，不能告诉我们各秒实际怎样行驶。

自己动手

先预测：两车同时到达终点，它们的速度表会不会一直相同？再播放演示，在途中暂停，分别读出两个表。检查“已经走了多少”与“现在有多快”是不是同一个问题。

很久以前，人们也遇到这样的困难

人们想算曲边图形围成的面积，也想描述物体某一刻的运动。古代已有几何逼近的方法，到了 17 世纪，牛顿和莱布尼茨在前人成果上分别发展出系统的微积分；学会自己的方法之后，我们再回看他们的故事。

说清理由再继续

全程相同、用时相同，为什么还不能说两车每一刻都一样快？

查看解释

全程除以总时间只给出整段平均速度。匀速车每段时间走得一样快，加速车前面慢、后面快，也可以同时到达。要判断某一刻，还需要那一刻附近的运动记录。全程平均是 3 米/秒，不能直接当作第 3 秒这一刻的速度。