五棱柱的截面：为什么最少三条边，最多七条边？

题目

若用一个平面去截一个五棱柱，截面的边数最少是____；最多是____。

答案：截面的边数最少是 3，最多是 7。

这道题要抓住一个关系：截面的一条边，来自五棱柱的一个面。 我们先看清这个关系，再分别找最少和最多。

① 截面是什么？边又在哪里？

想象把一个五棱柱形状的实心橡皮，用平平的一刀切开。新露出来的那块平面图形，就是截面。

沿着这块图形的边界走一圈，每一段直线就是它的一条边。这些边都落在五棱柱原来的表面上。

用一个平面去切一个平的面，在这个面上留下的切口是一条直线段。 因此，一个面至多给截面提供一条边。数截面的边，可以转而看切面经过了哪些面。

② 最少：贴近一个顶点，切出三角形

先想，能不能只有一条边或两条边？不能。要围成有面积的平面图形，至少需要三条边。

再看三条边能不能真的切出来：找五棱柱的一个顶点，它周围连着一个底面和两个侧面。贴近这个顶点斜切，把这个角切下一小块，让切面只经过这三个面。

三个面各留下了一条边，合起来就是一个三角形。

所以，既不能少于三条边，又确实能切出三条边，最少就是 3。这里说的是切出一块有面积的图形；只碰到一个顶点或一条棱，还不算这样的截面。

③ 最多：先数所有的面，再检查能不能同时切到

五棱柱有多少个面？

• 上、下两个底面，都是五边形，共 2 个面。
• 围在四周的侧面，共 5 个面。

因此，一共有 5 + 2 = 7 个面。每个面至多给截面提供一条边，所以截面不会超过 7 条边。

但还差一步：同一个切面，能不能真的同时经过这 7 个面？ 如果没有找到这样的切法，就还不能说最多一定是七条边。

可以。把切面适当倾斜并放到合适的位置，让它既经过上、下两个底面，又经过全部五个侧面。沿着截面边界数一圈，会发现：

五个侧面上各有一条边，上、下底面上也各有一条边，一共 7 条边。

这样的截面是七边形。既不能超过七条边，又能切出七条边，最多就是 7。注意，切面的方向和位置都要合适，并不是随便斜切一下就有七条边。

④ 动手切一切，把边和面对应起来

先观察三角形的切法：切面靠近哪一个顶点？它经过了哪三个面？再观察七边形的切法：找到上、下底面上的两条截边，然后数齐五个侧面上的截边。

点“播放”看切面怎样移动，也可以暂停、拖动进度，旋转或缩放立体。把立体上的切口与正面显示的截面对应起来，沿边界数完整的一圈，别漏掉被立体挡住的边。

正在准备五棱柱截面的三维过程…

图中采用通常题目里的凸五棱柱，也就是底面没有向内凹的角；尺寸只作示意，题目没有给出具体尺寸。旋转观察只改变视角，不改变已经切出的截面。

这类题有什么特点，考查什么能力？

看到“用一个平面截立体”和“截面最少、最多几条边”，关键是把平面图形的边，和立体原来的面对应起来。不能看到“五棱柱”的“五”，就直接认为截面最多只有五条边。

本题考查两件事：

• 从不同方向想象切口： 切面的位置和方向不同，经过的面就可能不同，截面也会改变。
• 把“不能更少或更多”和“确实做得到”说完整： 最少三条，要展示三角形；至多七条，还要展示七边形。

可复用的思路是：看每条截边来自哪个面 → 判断边数的限制 → 找到达到这个边数的切法。 对本题这样的凸多面体，一个面至多提供一条截边；判断最多时，仍要检查同一个平面能否同时切到所需的面。

自测：切出五边形，为什么还不是最多？

如果平行于底面切一刀，得到一个五边形。能据此说截面最多有五条边吗？为什么？

不能。这种切法只经过五个侧面，没有切过上、下底面，所以得到五条边。它只能说明“有一种切法能得到五边形”。

换一个合适的倾斜方向和位置，还能同时经过两个底面与五个侧面，切出七边形。要判断“最多”，必须把其他可能的切法也考虑进去，并说明为什么不可能更多。