五棱柱的截面：为什么最少三条边，最多七条边？

题目

若用一个平面去截一个五棱柱，截面的边数最少是____；最多是____。

答案：截面的边数最少是 3，最多是 7。

截面的每一条边，都是这一刀切过一个面留下的。 切过几个面，截面就有几条边。

先播放演示：看切面怎样切出三角形，又怎样换个位置和方向，切出七边形。可以暂停、拖动进度，也可以旋转立体。数边的时候，沿截面的边界走完整的一圈，别漏掉被立体挡住的边。点演示下方的面，能看到它对应截面的哪条边。

正在准备五棱柱截面的三维过程…

图里画的是常见的五棱柱，底面没有向里凹的角。题目没有给具体尺寸，图只画了一种大小。旋转只是换个角度看，不会改变已经切出的截面。

下面把演示里的道理写成文字，方便你以后复查。

① 截面是什么？它的边在哪里？

想象一块五棱柱形状的实心橡皮，用平平的一刀切开。新露出来的那块平面图形，就是截面。

沿着这块图形的边界走一圈，每一段直线就是它的一条边。这些边都落在五棱柱原来的表面上。

一刀切过一个平的面，在这个面上只留下一条直的切口。所以一个面最多给截面一条边。要数截面的边，就看这一刀切过了哪些面。

② 最少：靠近一个顶点，切出三角形

能不能只有一条边或两条边？不能。要围成一块有大小的平面图形，至少要三条边。

三条边真的切得出来吗？可以。找五棱柱的一个顶点，它周围连着一个底面和两个侧面。靠近这个顶点斜着切一刀，把这个角切下一小块。这一刀只切过这三个面。

三个面各留下一条边，合起来就是一个三角形。

少于三条围不成图形，三条又确实切得出来，所以最少是 3。只碰到一个顶点，或只碰到一条棱，切不出一块图形，不算截面。

③ 最多：先数所有的面，再看能不能一刀全切到

五棱柱有多少个面？

• 上、下两个底面，都是五边形，共 2 个面。
• 围在四周的侧面，共 5 个面。

一共 5 + 2 = 7 个面。一个面最多给一条边，所以截面不会超过 7 条边。

到这里还不能说“最多是 7”。还要检查：同一刀，真的能同时切过这 7 个面吗？ 找不到这样的切法，就不能说最多是七条边。

可以找到。让切面斜着，放到合适的位置：它既切过上、下两个底面，又切过全部五个侧面。沿截面的边界数一圈：

五个侧面上各有一条边，上、下底面上也各有一条边，一共 7 条边。

这样的截面是七边形。超过七条不可能，七条又确实切得出来，所以最多是 7。要注意，切面的方向和位置都要合适。随便斜切一刀，不一定有七条边。

下次遇到这类题先看什么

看到“用一个平面去截立体”“截面最少、最多几条边”，先想：截面的每条边来自哪个面？

• 最多： 先数立体有几个面，这是边数的上限。再找一种真的切到这么多面的切法。
• 最少： 围成图形至少要三条边。再找一种真的只切过三个面的切法，比如切掉一个角。
• 两头都要说全： “不可能更多（更少）”和“确实做得到”，缺一个都不算说清楚。

不要看到“五棱柱”的“五”，就猜截面最多五条边。

“一个面最多给一条边”，对本题这种没有凹进去的立体成立。

自测：切出五边形，为什么还不是最多？

如果平行于底面切一刀，得到一个五边形。能据此说截面最多有五条边吗？为什么？

不能。这种切法只切过五个侧面，没有切过上、下底面，所以得到五条边。它只能说明“有一种切法能得到五边形”。

换一个合适的倾斜方向和位置，还能同时切过两个底面和五个侧面，切出七边形。要判断“最多”，必须把其他切法也考虑进去，并说明为什么不可能更多。