综合检测与规律边界：先说条件，再说答案

综合检测

先独立写四题。每题都要写“我先看什么”和理由，再核对答案。

第 1 题：共边图形，拼法变了怎么办

用同样长的火柴搭单位正方形。每条边放 1 根，内部共边保留，重合的边只放 1 根。

1. 把 12 个正方形沿直线接成一排。每添 1 个只与前一个共用一整条边。需要多少根火柴？
2. 换成 $n$ 个这样连排的正方形，需要多少根？用“第一次”和“以后每次”说明理由。
3. 改搭成 2 行、每行 2 个的方格图。先搭好上排的 2 个，再搭左下的 1 个，最后补上右下的 1 个。最后一次添多少根？整幅图共多少根？为什么不能直接沿用连排公式？

第 2 题：周期与分数，同时看项号

每个位置同时放一个图形和一个数。

• 图形从第 1 个开始，按“圆、三角、方”不断重复：

• 先不看正负号，第 $n$ 个数的分子是 $n$，分母是 $n+1$；奇数项号取正，偶数项号取负。

1. 第 12 个位置是什么图形，放什么数？
2. 第 13 个位置是什么图形，放什么数？
3. “图形每 3 个重复，所以第 12 个数也等于第 3 个数。”这句话对吗？说明图形和数分别该怎样判断。

第 3 题：只有开头几项，答案能定下来吗

只给出 2，5，8，11，没有说明后面的生成规则。

1. 写出两种能接上这四项、但第 5 项不同的完整规则。可以用分段的文字规则。
2. 加上“从第 1 项开始，每后一项都比前一项大 3”后，第 20 项是多少？为什么现在能定下来？
3. 另一串数只给出 1，4，9，16。若题目再说明“第 $n$ 幅点阵有 $n$ 行，每行 $n$ 个点”，第 5 幅是多少个点？究竟是哪一个条件保证了这个答案？

第 4 题：日历与台阶，规律的前提还在吗

某月共 31 天，日历每周从周一开始，1 日是星期四。

1. 用十字框框住 5 个数（中间一个及上下左右），五个数的和是 80。中间的数是多少？写出另外四个数，并核对它们都在本月之内。
2. 五个数的和可能是 90 吗？先算出中间数应该是多少，再检查这个日期落在哪一行、哪一列，说明框为什么可能不完整。
3. 换到立体：用相同的小正方体搭台阶，每级由一列方块摆成、列高等于级数、深度为 1。第 6 幅比第 5 幅多几块？两份第 6 幅能拼成什么形状的长方块？

这里的字母 $n$ 都表示正整数。

这一课先检测，再核对。上方有四道综合题，每题有几个小问。 先在纸上完成，答案都折叠在下方，不需要动画。

核心：借用旧方法时，先检查旧理由是否还在。只知道开头几项时，还要分清“我猜这样继续”与“题目规定这样继续”。

动笔前，给每题写一句选法理由

• 图形题：圈出新添的边，检查每次到底共用几条边。
• 周期题：先圈完整重复组，再检查余数 0 对应哪里。
• 分数题：用完整项号分别确定分子、分母和符号。
• 规则没写全：尝试找两种都符合已知条件的续写，看下一项会不会不同。

这些线索是可选的动作，不要求每道题都同时用。比如，求某一个位置的分数，不需要把前面的分数全部相加。

自测 1：共边图形，检查最后一次怎么添

先完成上方第 1 题的三个小问。画出 2×2 方格，给最后补上的右下正方形做记号。把已有边和新添边分开数。

核对第 1 题：数量、一般式与变拼法

第 1 问：37 根。第一个正方形用 4 根，后面 11 个各添 3 根，所以 4＋3×11＝37。

第 2 问：3n＋1 根。第一次用 4 根，以后每次只共用一条边，所以每次都添 3 根，共添 n−1 次：4＋3(n−1)＝3n＋1。

这个理由不靠“已经检查过几个数”。题目规定每个新正方形都只共用一条边，因此其余 3 条每次都要新添。

第 3 问：最后添 2 根，整幅共 12 根。最后的右下正方形，顶边已经属于右上正方形，左边已经属于左下正方形，只需要新添右边和下边。

前三个正方形用了 4＋3＋3＝10 根，最后再添 2 根，共 12 根。也可检查：方格的横边分成 3 行，每行 2 根，共 6 根；竖边同样 6 根，总共 12 根。

直接代入连排公式会得到 3×4＋1＝13，多算 1 根。失败原因是最后一次共用了两条边，“每次只共用一条边”不再成立。

自测 2：同一个项号，两条不同的规则

先完成上方第 2 题。把“图形”与“数”分两行算。做完后问自己：图形的余数，能直接拿来代替分数里的项号吗？

核对第 2 题：余零、奇偶与分母

第 1 问：第 12 个是方，数是 −12/13。12＝3×4，余数为 0，所以图形落在组末，是方。分数仍用完整项号 12：分子是 12，分母是 13；12 为偶数，取负。

第 2 问：第 13 个是圆，数是 13/14。13＝3×4＋1，所以图形在下一组第 1 个；13 为奇数，分子是 13，分母是 14，取正。

第 3 问：不对。重复的是图形，余数只用来找图形在组内的位置。第 3 个数为 3/4，第 12 个数为 −12/13，数值不同。

正负号本身有 2 个位置一组的交替，分子、分母却随完整项号改变。不能把一种重复关系当成所有部分都重复。

自测 3：能接上开头，不代表下一项唯一

先完成上方第 3 题。写的第二种规则要对后面的每一项都有交代，不能只换一个答案、后面就不管了。

核对第 3 题：两种规则与新增条件

第 1 问：第 5 项可以是 14，也可以是 15。例如下面两条完整规则都能接上原来的四项。

• 规则 A：从 2 开始，以后始终每次加 3。得到 2、5、8、11、14、17，……。
• 规则 B：先写 2、5、8、11；从第 5 项开始，每次比前一项大 4。得到 2、5、8、11、15、19，……。

两条都符合“只给 2、5、8、11”的条件，第 5 项却不同。因此只给这些数，还定不下来。规则 B 没有规则 A 简单，但题目没有排除它；“看起来更常见”不等于唯一。

第 2 问：第 20 项是 59。加上“从第 1 项起始终每次加 3”，就有 2＋3×(20−1)＝59。这条新条件排除了规则 B，也把后面每一步都定下来了。

第 3 问：25 个点。条件明确说第 n 幅有 n 行、每行 n 个点，所以第 5 幅是 5×5＝25。保证答案的是这个排点规则，不是只看过 1、4、9、16 这四个数。

还可以自己核查：一个确定的起点，加上对每一步都明确的生成规则，才能按该规则一直算下去。只有前几项时，回答应说明“若按某条规则继续”，不要把猜想写成唯一结论。

自测 4：日历的边与立体的列

先完成上方第 4 题。第 1 问核对四格位置，第 2 问要找到“框不完整”的具体位置，第 3 问只说结构，不套数字。

核对第 4 题：中心、边界与长方块

第 1 问：中间是 16，框住 9、15、17、23。80÷5＝16；16−7＝9，16−1＝15，16＋1＝17，16＋7＝23。16 在第 3 行中间偏右，上下左右都在本月内，框完整，和 5×16＝80 成立。

第 2 问：不可能。90÷5＝18，中间数必须是 18。但这个月 1 日是周四，18 号排在第 3 行的最后一列（周日），它没有右邻，十字框缺一格，五数之和的规律失去前提。除了第一行没有上邻，最后一列没有右邻同样是边界。

第 3 问：多 6 块；两份拼成 6×7×1 的长方块。第 6 幅新添的是高为 6 的一列；两份互补后每列 6＋1＝7 块、共 6 列。

本题的方法与日历课、台阶课相同：先用位置和结构说明，再核对每个数真实存在。

做完以后，回看哪一步需要补

如果漏算第一项或变化次数，回到固定增量课。如果把新增点数当总点数，回到点阵课。

如果余数 0 没落在组末，回到周期课。如果图形的余数替代了完整项号，回到分式与符号课。

如果只认“乘几”没写全“乘几再加几”，或把增长快都当成翻倍，回到倍数与递推课；前两项相加的规则没接上，回到相加递推课。如果十字框忘了查行列边界，回到数表与日历课。如果立体堆叠没先看新添的一列，回到立体堆叠课。

最后留一句能带走的话：先指出变化，再说明为什么每一步都这样；条件变了，就重新检查那一步理由。