网格中的矩形：先选上下，再选左右

第 7 题

某商业街的人行道由 3 块矩形地砖组成的基本图形排列而成，图 3-3-7①表示此基本图形中地砖的排列方式。将图 3-3-7①这个基本图形不断复制（即向前铺地砖），得到图 3-3-7②③。显然，图 3-3-7①中共有 6 个矩形，图 3-3-7②中共有 18 个矩形，图 3-3-7③中共有 36 个矩形，……按照以上规律，解决下列问题。

（1）图 3-3-7④中共有 ______ 个矩形；

（2）图 3-3-7 中第 n 幅共有 ______ 个矩形（用含 n 的代数式表示）；

（3）已知图 3-3-7①的面积为 1.5 m²，若该人行道的面积为 600 m²，求该人行道图案上共有多少个矩形。

图 ①

图 ②

图 ③

原图第（2）问用带圈的 n 表示第 n 幅图。题目按用户提供的两页照片整理；照片中的手写答案不属于题干。

答案：（1）60 个；（2）3n(n＋1) 个；（3）481200 个。

核心：一个矩形要选定上下边和左右边。两个方向分别数选法，再相乘。

正在准备配音图解，下方有完整的图文步骤。

这题接在配对求和后面学。只需要加减乘除和用字母表示数；不用先学排列组合的符号。

第一步：题目为什么说三块砖有六个矩形

题目给了一个提醒：图①只有 3 块地砖，却有 6 个矩形。因此，要把相邻砖合起来形成的大矩形也算上。

第 1 个：高 1 格

第 2 个：高 1 格

第 3 个：高 1 格

第 4 个：高 2 格

第 5 个：高 2 格

第 6 个：高 3 格

按高度分开数，就容易找全：

高度	可以从哪里开始	个数
高 1 格	第 1、2、3 行	3
高 2 格	第 1 行或第 2 行	2
高 3 格	只能从第 1 行开始	1

所以一列里共有 3＋2＋1＝6 个矩形。中间有砖缝，外面的四条边仍能围成矩形。

第二步：横着四列，有几种连续选法

先固定上下边，只看横着跨几列。以第④幅的 4 列为例：

宽 1 格：4 种位置

宽 2 格：3 种位置

宽 3 格：2 种位置

宽 4 格：1 种位置

宽 1 格有 4 个位置；宽 2 格有 3 个位置；宽 3 格有 2 个位置；宽 4 格只有 1 个位置。

横向选法共有 4＋3＋2＋1＝10 种。这里数的是“从哪列开始，到哪列结束”，还没有乘上竖向选法。

第三步：为什么要乘，不能相加

固定一种竖向选法，比如从第 1 行到第 2 行。横着仍能选刚才的 10 种。

换成从第 2 行到第 3 行，又能配上完整的 10 种。每一种竖向选法都这样配。

共有 6 组，每组有 10 个，所以第④幅共有：

$$6\times10=60\text{（个）}$$

为什么不会重复？两个红框只要有一条边不同，就是两个不同的矩形。四条边完全相同，才是同一个。

为什么不会漏？沿着格线画出的任意矩形，都能找到它的上边、下边、左边和右边。它一定在这些选法里。

第四步：把四列换成 n 列

n 列中，宽 1 格有 n 个位置，宽 2 格有 n−1 个位置，……宽 n 格只有 1 个位置。

这里要把 n、n−1、……、1 加起来。怎样不逐个相加，也能算出总数？我们把配对求和的过程展开。

先看四列：把同一个和写两遍

横向有 4＋3＋2＋1 种选法。这几个数依次少 1；如果倒过来写，对应的数就依次多 1。一个少 1，另一个多 1，上下相加的结果就不变。

写法	①	②	③	④
正写	4	3	2	1
倒写	1	2	3	4
相加	5	5	5	5

每一行都有 1、2、3、4，只是顺序不同，所以两行的总和相同。现在沿着表格竖着看：4＋1、3＋2、2＋3、1＋4，每组都是 5，一共有 4 组。

两行合起来是 4×5＝20。题目只要一行的和，所以再除以 2：

$$4+3+2+1=\frac{4\times5}{2}=10$$

换成 n 列：每组都是 n＋1，一共有 n 组

用 S 表示原来要算的和。仍然把同一批数写两遍，第二遍把顺序倒过来：

$$\begin{aligned}S&=n+(n-1)+\cdots+1\\S&=1+2+\cdots+n\end{aligned}$$

上下对应相加：第一组是 n＋1；第二组是 (n−1)＋2，也等于 n＋1；……最后一组是 1＋n，仍等于 n＋1。

为什么有 n 组？ 每行从 1 到 n 恰好有 n 项，上下每两项配成一组，因此有 n 组。

为什么要除以 2？ 两行合起来是两个 S。我们算出的 n(n＋1) 是原来的和的两倍，所以要取它的一半。

$$2S=n(n+1)\quad\Rightarrow\quad S=\frac{n(n+1)}2$$

这种写两遍的方法，n 是奇数或偶数都适用，因为每一项都在另一行有对应的伙伴。于是横向选法为：

$$n+(n-1)+\cdots+1=\frac{n(n+1)}2$$

竖着仍是 3 行，仍有 6 种。因此第 n 幅的矩形数是：

$$6\times\frac{n(n+1)}2=\boxed{3n(n+1)}$$

代入 n＝1、2、3，分别得到 6、18、36，与题目一致。前面的选边理由说明它对后面的每一幅也成立；代入几个数只是核对计算。

这和“递增差”有什么联系

从第 n−1 幅多铺一列，新矩形必须用最右边的新竖线作右边。左边能选前面的 n 条竖线，上下仍有 6 种选法，所以这一次新增 6n 个矩形。

因此总数依次是 6、18、36、60，增加量是 12、18、24……每次又多 6。这与递增差与点阵相连，但这里可以直接从四条边说明原因。

第五步：面积先告诉我们有几列

题目说的是一整个基本图形占 1.5 m²。这个基本图形就是 3 行 1 列。

保持原来的铺法，每添一组就添一列。所以先算组数：

$$n=600\div1.5=400$$

把 400 代入第 n 幅的公式：

$$3\times400\times401=\boxed{481200\text{（个）}}$$

一般规律：r 行、c 列怎样数

把竖着的 3 行换成 r 行。高 1 格有 r 种位置，高 2 格有 r−1 种，……高 r 格有 1 种。竖向共有 r(r＋1)÷2 种。

横向同理，c 列共有 c(c＋1)÷2 种。两个方向任意搭配：

$$\boxed{\text{矩形数}=\frac{r(r+1)}2\times\frac{c(c+1)}2}$$

也可以数格线：r 行有 r＋1 条横线，从中选两条；c 列有 c＋1 条竖线，从中选两条。选最上面的横线作上边，下边有 r 种；再往下一条作上边，下边剩 r−1 种。加起来仍是同一个和。

哪些图能这样数

横线、竖线都要贯穿整个网格，数的矩形四边都在格线上。格子的宽窄可以不同，只要每一组上下边都能配上每一组左右边，选法就不变。

正方形也是矩形，所以要算在内。只问正方形时，还要检查实际边长是否相等，不能直接用全部矩形数。

如果一条线中间断了，或砖缝上下错开，就要检查四条边能否完整围起来。不能只数“看起来有几行几列”就套公式。

中考迁移：选两条线，也像选两支球队

2026·湖北·第 7 题（3 分）

2026 年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有 $n$ 支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛 1 场），共需进行 136 场比赛，则可列方程（　　）

A．$\frac12n(n-1)=136$

B．$n(n-1)=136$

C．$\frac12n(n+1)=136$

D．$n(n+1)=136$

出处：《2026 年湖北省中考数学试卷》第 2 页的第 7 题。题干与四个选项已对照该试卷的页面影像核验；本题原卷无配图。

展开真题答案与选边规律的联系

选 A。先给球队编号。第 1 队可以和后面的 n−1 队比赛；第 2 队只再数后面的 n−2 队，前面已经数过的不再算。依次得到 (n−1)＋(n−2)＋……＋1＝n(n−1)÷2 场。

也可以这样核对：每队和其余 n−1 队比赛，得到 n(n−1)。其中“甲对乙”和“乙对甲”是同一场，每场算了两次，所以除以 2。题目只要求列方程，不必先学解一元二次方程。

与本课相同的一步：从 n 支球队中选两队，与从 n 条横线中选两条，都是选一对不同的对象，交换顺序不产生新的一对。

为什么网格公式里是 r(r＋1)，这题却是 n(n−1)？因为 r 是格子的行数，横线实际有 r＋1 条。把球队数 n 换成横线数 r＋1，就得到 (r＋1)r÷2。矩形还要再配左右两条边，所以最后要把两个方向的选法相乘。

自测：先说选法，再算答案

1．换成两行三列

一个完整的 2 行 3 列网格，共有多少个矩形？请说明为什么不是 2×3＝6。

展开答案与理由

18 个。竖向有 2＋1＝3 种，横向有 3＋2＋1＝6 种，所以共 3×6＝18 个。2×3 只算了 6 个最小格。

2．格子宽窄不同，选法会变吗

把一个完整的 2 行 3 列网格的中间一列画宽一些，所有横竖线仍完整。矩形总数会变吗？

展开答案与理由

不变，仍是 18 个。格线的条数没变，选上下两条、左右两条的办法没变。矩形的大小会变，数量不变。

3．少一段线，能照套吗

在一个 2 行 2 列的网格里，擦掉中间竖线的上半段。上面成为一个大格，下面保留两个小格。还可以用 3×3＝9 吗？

展开答案与理由

不能，实际有 5 个。只在上面一层有 1 个；只在下面一层有 3 个；跨上下两层只有外框这 1 个。合计 1＋3＋1＝5。

中间竖线不能作上面一层或跨两层矩形的完整边。这时两个方向不再能任意搭配。

下次遇到数图形，先确认数的是小块还是所有大小。若是完整网格里的矩形，就先数上下选法，再数左右选法；最后检查每一组选法能否围成完整矩形。