初一第二章 · 全章知识地图
有理数全章思维导图
这一章的全部知识分四块：认数（正负数、分类、数轴）、两个工具（相反数、绝对值）、五种运算（加减乘除与乘方）、一套写法与顺序（科学记数法、混合运算）。先看总览，再按块往下看细节。
这是一张查阅图，不用背下来。做题卡住时回到图上找这条规则属于哪一块，再点进对应的课节。
一、全章总览
四个方块对应四组内容。运算那一块最长，因为五种运算共用同一套“先定符号、再算绝对值”的想法。
有理数及其运算
一、有理数的意义
正数与负数
表示相反意义的量；0 既不是正数，也不是负数
有理数的分类
整数与分数统称有理数；也可分成正有理数、0、负有理数
数轴
原点、正方向、单位长度；每个有理数都对应数轴上一个点
相反数
a 的相反数是 −a；关于原点对称；0 的相反数是 0
绝对值
到原点的距离；|a| ≥ 0
二、有理数的运算
加法
同号相加绝对值；异号且绝对值不等时大减小、随大号；相反数相加得 0
减法
a − b = a + (−b)：减号变加号，减数变相反数
乘法
同号得正、异号得负，绝对值相乘；任何数与 0 相乘得 0
除法
除以一个不为 0 的数，等于乘它的倒数
乘方
本章 n 为正整数，aⁿ 是 n 个 a 相乘；负数奇次幂为负、偶次幂为正
运算律
加法交换律与结合律；乘法交换律、结合律与分配律
三、科学记数法与运算顺序
科学记数法
写成 a×10ⁿ，1 ≤ |a| < 10；本课表示绝对值不小于 10 的大数，n 为正整数
混合运算顺序
先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号里面
简便计算
凑整、同号结合、相反数结合、同分母结合、分配律
四、最容易丢分的地方
符号与括号
结果符号先定，再算绝对值；负数、分数作底数要加括号
(−2)⁴ 与 −2⁴ 不同
前者是 −2 的四次方，后者是 2⁴ 的相反数
0 没有倒数
除法中除数不能为 0
除法没有对除数的分配律
不能把 a÷(b+c) 当作 a÷b + a÷c；(a+b)÷c 可逐项除以非零的 c
二、逐块细看
下面每一块都配一张更细的图，并给出对应的课节。图的顺序就是学习顺序。
1. 有理数、正负数与数轴
先认清“有理数包括哪些数”，再让每个数在数轴上有一个位置。
有理数、正负数与数轴
正数与负数
表示相反意义的量
先规定哪一个方向为正，另一个方向就记作负
0 是分界
0 既不是正数，也不是负数；它是最小的非负整数
带“−”号不一定就是负数
要先看这个数本身是什么数
有理数的分类
按定义分：整数与分数统称有理数
- 整数正整数、0、负整数
- 分数正分数、负分数
按符号分：正有理数、0、负有理数
有限小数与循环小数都是有理数
都能写成整数之比（分母不为 0）；1.0 是整数，0.35 = 7/20 是分数
数轴
三要素缺一不可
原点、正方向、单位长度
单位长度必须统一
相同的数值差对应相同的距离，不能一段代表 1、同样长的另一段代表 2
每个有理数都对应数轴上一个点
数轴把“数”和“位置”对上了
2. 相反数与绝对值
相反数管“在 0 的哪一边”，绝对值管“离 0 多远”，两件事都在数轴上看。
相反数与绝对值
相反数
只有符号不同的两个数互为相反数
a 的相反数是 −a
0 的相反数还是 0
几何意义：关于原点对称
两个相反数到原点的距离相等
连续取相反数
取偶数次回到原数，取奇数次得到原数的相反数；不能把加减算式里的负号一起数
绝对值
|a| 是到原点的距离
距离不会是负数，所以 |a| ≥ 0
去掉绝对值要分类
- a ≥ 0 时，|a| = a
- a < 0 时，|a| = −a此时 −a 是正数
两个数之间的距离是 |m − n|
不必先判断谁在左边
用数轴比较大小
数轴上右边的数总比左边的数大
正数 > 0 > 负数
两个负数比较，绝对值大的反而小
例如 −3 < −2，因为 |−3| > |−2|
3. 有理数的加减法
计算 a + b 时，从 a 的位置出发，b 的符号定移动方向，|b| 定移动距离。
有理数的加减法
加法法则
同号相加：取相同符号，绝对值相加
异号且绝对值不等：取绝对值较大者的符号，用大减小
互为相反数相加得 0
一个数与 0 相加，仍得这个数
减法法则
减去一个数，等于加上它的相反数
a − b = a + (−b)
变号只变两处
减号变加号、减数变相反数；被减数不动
加减混合运算
先全部化成加法
把减法都改写成加上相反数
可以写成省略加号的代数和
−8 + 5 − 3 是 −8、+5、−3 的和；交换时每一项带着自己的符号
用运算律简化
交换律与结合律；同号结合、相反数结合、同分母结合、凑整
4. 有理数的乘除法
乘法先看有没有 0；没有 0 时先定符号再算绝对值。除法转成乘倒数。
有理数的乘除法
乘法法则
两数相乘：同号得正，异号得负，绝对值相乘
任何数与 0 相乘都得 0
多个非零因数相乘：看负因数的个数
负因数个数为奇数时积为负，为偶数时积为正
有一个因数为 0，积就是 0
倒数
乘积为 1 的两个数互为倒数
a 与 1/a 互为倒数（a ≠ 0）
0 没有倒数
倒数等于它本身的数是 1 和 −1
不要把倒数与相反数混为一谈
非零分数求倒数：分子分母交换
带分数要先化成假分数
除法法则
除以一个不为 0 的数，等于乘它的倒数
a ÷ b = a × 1/b（b ≠ 0）
两数相除：同号得正，异号得负，绝对值相除
0 除以非零数得 0；除数不能为 0
除法没有对除数的分配律
不能把 a ÷ (b + c) 当作 a ÷ b + a ÷ c
运算律与技巧
乘法交换律、结合律
把能约分或凑整的数先乘
乘法对加法的分配律
a(b + c) = ab + ac；因此 (a + b) ÷ c = a ÷ c + b ÷ c（c ≠ 0）
乘除混合：从左到右
除法先化成乘法，再一起约分
5. 乘方与科学记数法
乘方是相同因数的乘法，科学记数法是把大数写成“一个数乘 10 的幂”。
乘方与科学记数法
乘方的意义
aⁿ 表示 n 个 a 相乘
本章 n 为正整数；a 是底数，n 是指数，aⁿ 是幂
底数是负数或分数时要加括号
(−2/3)² 与 −2/3² 不是同一个式子
幂的符号规律
正数的正整数次幂都是正数
负数的奇数次幂为负，偶数次幂为正
这里的指数都是正整数
0 的任何正整数次幂都是 0
(−2)⁴ 与 −2⁴ 不同
前者是 −2 的四次方得 16，后者是 2⁴ 的相反数得 −16
科学记数法
写成 a×10ⁿ，其中 1 ≤ |a| < 10
本课只表示绝对值不小于 10 的大数，所以 n 为正整数
本课大数的 n = 整数部分位数 − 1
不计负号；3840000 有 7 位整数，写成 3.84×10⁶
负数照写，符号留在 a 上
−52000000 = −5.2×10⁷
6. 混合运算、易错清单与综合考题
顺序决定对错，技巧决定快慢；把整章的错误集中检查一遍。
混合运算与易错清单
运算顺序
先乘方，再乘除，最后加减
有括号先算括号里面
多层括号从内向外算，先后由嵌套位置决定
同级运算从左到右
乘除是同级，加减是同级
常用的简便技巧
把减法统一成加法再结合
相反数先结合，和为 0
同分母、同符号的先结合
能约分或凑整的先乘
合理使用分配律
把括号外的因数分别乘进去
易错清单
符号：先定符号，再算绝对值
括号：负数、分数作底数必须加括号
指数位置：(−2)⁴ 与 −2⁴
0 没有倒数，除数不能为 0
除数不能拆开分配
分类讨论：绝对值或平方给出两个可能值时不要漏解
三、这张图怎么用
- 做题前扫一眼。遇到“不会用哪条规则”，先在图里找它的位置：属于运算还是属于写法，是符号问题还是顺序问题。
- 做错后对一次。把错处标在图上对应的叶子上。错在同一个叶子两次，就说明这条规则还没真正记住。
- 复习时顺着走。从“认数”往下，每一块问自己一句“这一块有哪些情况要分开处理”，想不起来就点进课节。
- 别只背结论。图上的每一句都能在课节里找到“为什么”，考试考的是判断，不是默写。
四、打印版与可折叠版
这张图适合在屏幕上查。要打印出来贴在书桌前，用下面这份 PDF：把同一张图排成 A4 横向 6 页，所有节点全部展开，打印后不用点开就能看全。
想在屏幕上按需展开、收起，用可折叠版：点板块名展开规则，再点一下收起来。