有理数的乘除法：先定符号，再算绝对值

题目

1. 计算：$(-3)\times 5\times (-2)\times (-1)$

2. 计算：$\left(-\frac{3}{4}\right)\div\left(-\frac{3}{8}\right)$

3. 计算：$-\frac{1}{2}\div 3\times (-6)$

4. 计算：$\left(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{5}{6}\right)\times (-12)$

5. 已知 $abc>0$，且 $a<0$，$b<0$，判断 $c$ 的正负，并说明理由。

答案速览

点开看答案（先自己做一遍）

第 1 题： $-30$。

第 2 题： $2$。

第 3 题： $1$。

第 4 题： $-8$。

第 5 题： $c$ 是正数（$c>0$）。

播放时看负负得正的依据与乘法三步；再换因数数负因数、核对积。

这一节的知识地图

有理数的乘除法

乘法法则

• 两数相乘：同号得正，异号得负，绝对值相乘

• 任何数与 0 相乘都得 0

• 多个非零因数相乘：看负因数的个数

  负因数个数为奇数时积为负，为偶数时积为正

• 有一个因数为 0，积就是 0

倒数

• 乘积为 1 的两个数互为倒数

  a 与 1/a 互为倒数（a ≠ 0）

• 0 没有倒数

• 倒数等于它本身的数是 1 和 −1

  不要把倒数与相反数混为一谈

• 非零分数求倒数：分子分母交换

  带分数要先化成假分数

除法法则

• 除以一个不为 0 的数，等于乘它的倒数

  a ÷ b = a × 1/b（b ≠ 0）

• 两数相除：同号得正，异号得负，绝对值相除

• 0 除以非零数得 0；除数不能为 0

• 除法没有对除数的分配律

  不能把 a ÷ (b + c) 当作 a ÷ b + a ÷ c

运算律与技巧

• 乘法交换律、结合律

  把能约分或凑整的数先乘

• 乘法对加法的分配律

  a(b + c) = ab + ac；因此 (a + b) ÷ c = a ÷ c + b ÷ c（c ≠ 0）

• 乘除混合：从左到右

  除法先化成乘法，再一起约分

每天支出 3 元，4 天共变化多少

记账时，收入记为正，支出记为负。

每天的变化	连续天数	总变化
收入 3 元，记为 $+3$	4 天	$3\times4=12$，增加 12 元
支出 3 元，记为 $-3$	4 天	$(-3)\times4=-12$，减少 12 元

这里的 4 表示“相同的变化出现 4 次”。所以 $(-3)\times4$ 就是 4 个 $-3$ 相加：

$$(-3)+(-3)+(-3)+(-3)=-12$$

若记账时把一笔支出 3 元多记了 4 次，就多记了 $-12$ 元。撤销这 4 笔错误记录，要把余额加回 12 元。这能帮助我们理解：把负的变化反过来，得到正的变化。

天数本身没有变成负数。要说明两个负数相乘的规则，还要用乘法的分配律。

负负为什么得正

我们希望新学的负数乘法，仍满足小学学过的分配律。

先看 $(-3)\times(-4)$。因为 $4+(-4)=0$，所以：

$$(-3)\times[4+(-4)]=(-3)\times0=0$$

按分配律展开左边：

$$(-3)\times4+(-3)\times(-4)=0$$

第一项已知是 $-12$。要让两项的和为 0，第二项必须是 $+12$。

这不是只有 3 和 4 才成立。把它们换成任意正有理数 $a$、$b$。因为 $[a+(-a)]b=0$，所以 $(-a)b$ 是 $ab$ 的相反数，即 $-ab$。

再看两个负数相乘：

$$(-a)b+(-a)(-b)=(-a)[b+(-b)]=0$$

第一项是 $-ab$，第二项就必须是 $ab$。因此，两个负数相乘，积为正，大小等于它们的绝对值相乘。

乘法：先查零，再定符号

两数相乘：同号得正，异号得负，绝对值相乘。任何数与 0 相乘都得 0。

多个因数相乘时，先看有没有 0。没有 0，再数负因数的个数：

负因数的个数	积的符号	理由
有 0 参与	积是 0	任何数与 0 相乘都得 0
无 0，奇数个负因数	负	每两个负因数的积为正，最后剩一个负因数
无 0，偶数个负因数	正	负因数正好两两配对，0 个负因数也属于这一行

第 1 题：

$$(-3)\times 5\times (-2)\times (-1)$$

负因数是 $-3$、$-2$、$-1$，共 3 个，奇数，所以积为负。绝对值部分：

$$3\times 5\times 2\times 1=30$$

所以原式 $=-30$。这里数的是负因数，不能把减法符号也算进去。

倒数：把除法变成乘法的钥匙

乘积是 1 的两个数互为倒数。 $a$ 的倒数是 $\frac{1}{a}$（$a\ne 0$）。

例如把一张照片的长度放大到原来的 2 倍，再缩小到放大后的 $\frac12$，长度回到原来：

$$2\times\frac12=1$$

这里的 2 和 $\frac12$ 是两次放缩的倍数，合起来是原来的 1 倍，所以它们互为倒数。负数也有倒数，仍按“乘积为 1”来判断。

• $0$ 没有倒数：没有任何数与 0 相乘能得 1。
• 倒数等于它本身的数是 $1$ 和 $-1$。
• 求倒数：分数交换分子分母；带分数先化成假分数；小数先化成分数。

除法：先换成乘法

1 升果汁，每杯装 $\frac14$ 升，可以装几杯？求的是“1 里面有几个 $\frac14$”，所以列除法：

$$1\div\frac14=1\times4=4$$

每份是四分之一，就要数一共有几个四分之一。除以 $\frac14$，相当于乘 4。

一般地，求 $a\div b$，就是找一个数，乘 $b$ 后等于 $a$。用 $a\times\frac1b$ 就能做到，因为 $\frac1b\times b=1$。

除以一个不为 0 的数，等于乘它的倒数：

$$a\div b=a\times\frac{1}{b}\qquad (b\ne 0)$$

也可以直接判断：两数相除，同号得正，异号得负，绝对值相除。

第 2 题：

$$\left(-\frac{3}{4}\right)\div\left(-\frac{3}{8}\right)=\left(-\frac{3}{4}\right)\times\left(-\frac{8}{3}\right)$$

两个数都是负的，同号得正，所以结果为正。再算绝对值：

$$\frac{3}{4}\times\frac{8}{3}=\frac{3\times 8}{4\times 3}=\frac{8}{4}=2$$

第 3 题：乘除同级，从左到右。

$$-\frac{1}{2}\div 3\times (-6)$$

先把除法变成乘法：

$$-\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}\times (-6)$$

现在全是乘法，可以自己排顺序（乘法有交换律）：

$$\left(-\frac{1}{2}\right)\times (-6)\times\frac{1}{3}=3\times\frac{1}{3}=1$$

原式 $=1$。

第 4 题：分配律把括号里的分数一次乘完

$$\left(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{5}{6}\right)\times (-12)$$

买 3 套文具，每套都有一支 2 元的笔和一本 5 元的本子。可以先算一套的价格，也可以把笔和本子分别算钱：

$$3\times(2+5)=3\times2+3\times5$$

这里每套中的两样东西，都要买 3 份。分配律中的每一项也都要乘到。

回到第 4 题，12 是分母 2、3、6 的公倍数。所以让 −12 逐项相乘并约分，每一项都能变成整数：

$$\frac{1}{2}\times(-12)-\frac{2}{3}\times(-12)+\frac{5}{6}\times(-12)=-6+8-10=-8$$

原式 $=-8$。

三处符号都要盯住：第一项得负，第二项负负得正，第三项得负。用分配律时，括号里每一项都要乘到，而且每一项都要带着自己的符号。

第 5 题：从符号反推另一个因数

已知 $abc>0$，且 $a<0$，$b<0$，判断 $c$ 的正负。

方法一：先算两个。

$a<0$，$b<0$，同号相乘得正，所以 $ab>0$。又因为 $abc>0$，一个正数乘 $c$ 还是正数，所以 $c>0$。

方法二：数负因数的个数。

三个数的积大于 0，所以没有哪个因数是 0，负因数的个数是偶数。现在 $a$、$b$ 已经占了 2 个负因数，所以 $c$ 只能是正数。

两种方法得到同一个结论：$c$ 是正数。 这类题只要抓住“积的符号由负因数的个数决定”，就不需要背额外规则。

自编练习：先做，再核对

练习 1 计算 $(-2)\times (-3)\times (-4)\times 5$。

核对练习 1

负因数有 $-2$、$-3$、$-4$，共 3 个，奇数，所以积为负。

绝对值：$2\times 3\times 4\times 5=120$。原式 $=-120$。

检查时分两次看：负号有没有写，绝对值有没有算对。

练习 2 计算 $\left(-\frac{5}{6}\right)\div\frac{10}{9}$。

核对练习 2

除以 $\frac{10}{9}$ 就是乘它的倒数 $\frac{9}{10}$：

$\left(-\frac{5}{6}\right)\times\frac{9}{10}=-\frac{5\times 9}{6\times 10}=-\frac{45}{60}=-\frac{3}{4}$。

符号只在一开始判断一次：一负一正，异号得负。剩下全是绝对值运算。

练习 3 不用逐个乘，判断 $(-2)\times0\times(-5)$ 的结果。再写出 $-0.4$ 的相反数和倒数。

核对练习 3

乘积是 $0$。有零因数，不能因为有两个负因数就判断积为正。

$-0.4$ 的相反数是 $0.4$。因为 $-0.4=-\frac25$，它的倒数是 $-\frac52=-2.5$。

核对：$-0.4+0.4=0$，$(-0.4)\times(-2.5)=1$。

检查自己是否看懂

下面两个式子，哪一个是对的？错的那个错在哪里？

（1）$\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)\div\frac{1}{8}=\frac{1}{2}\div\frac{1}{8}+\frac{1}{4}\div\frac{1}{8}$

（2）$12\div\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)=12\div\frac{1}{2}+12\div\frac{1}{4}$

查看答案与理由

（1）是对的。除以 $\frac{1}{8}$ 就是乘 8，而乘法对加法可以分配：$\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)\times 8=\frac{1}{2}\times 8+\frac{1}{4}\times 8=4+2=6$。

（2）是错的。左边 $12\div\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)=12\div\frac{3}{4}=16$；右边 $12\times 2+12\times 4=24+48=72$，两边不相等。

区别在于和在哪一侧：几个数的和除以同一个非零数，可以逐项除。一个数除以几个数的和，没有对应的分配律，不能照式子（2）那样拆开。

深圳中考对应题

本节近五年深圳中考原卷题尚未完成核实，暂不收录。可以先做本课的原创练习。

查看逐年核验范围与出处