有理数的加减法：从收支和气温看懂每一步

题目

计算下列各题。能用简便方法的要用简便方法，并写出你用到的运算律。

1. $-9+7-(-5)-11$
2. $-2.5+3.7-1.5+2.3$
3. $\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{3}\right)+\left(-\frac{1}{6}\right)$

4. 某市一天早晨的气温是 −2 ℃，中午上升了 8 ℃，夜间又下降了 11 ℃。求夜间的气温。

答案速览

点开看答案（先自己做一遍）

第 1 题： $-8$。

第 2 题： $2$。

第 3 题： $\frac{2}{3}$。

第 4 题： 夜间气温 $-5$ ℃。

播放时从收支抵消走到法则与化简；再拖两笔变化，自己定符号核对。

两笔零花钱，怎样合成一笔变化

约定收到的钱记正，花掉的钱记负。这里相加的是两笔钱的变化，结果表示一共增加或减少多少，不是钱包里原有多少钱。

两笔记录	合起来发生什么	算式
收到 8 元，又收到 5 元	共增加 13 元	$8+5=13$
花 8 元，又花 5 元	共减少 13 元	$(-8)+(-5)=-13$
收到 8 元，花 5 元	抵消 5 元，还增加 3 元	$8+(-5)=3$
花 8 元，收到 5 元	抵消 5 元，还减少 3 元	$(-8)+5=-3$

为什么异号要相减？每 1 元收入与 1 元支出合起来，变化是 0。把这样的两笔配对抵消，剩下的金额就是两者相差多少。剩下收入，结果为正；剩下支出，结果为负。

如果收到 8 元又花掉 8 元，变化恰好为 0：$8+(-8)=0$。如果第二笔没有收支，记作 0，原来的变化不受影响。

这一节的知识地图

有理数的加减法

加法法则

• 同号相加：取相同符号，绝对值相加

• 异号且绝对值不等：取绝对值较大者的符号，用大减小

• 互为相反数相加得 0

• 一个数与 0 相加，仍得这个数

减法法则

• 减去一个数，等于加上它的相反数

  a − b = a + (−b)

• 变号只变两处

  减号变加号、减数变相反数；被减数不动

加减混合运算

• 先全部化成加法

  把减法都改写成加上相反数

• 可以写成省略加号的代数和

  −8 + 5 − 3 是 −8、+5、−3 的和；交换时每一项带着自己的符号

• 用运算律简化

  交换律与结合律；同号结合、相反数结合、同分母结合、凑整

从收支得到加法法则

拿到两个数相加，先问“它们同号还是异号”，答案就只有四种：

情况	怎么做	例子
同号	取相同的符号，把绝对值相加	$-8+(-5)=-13$
异号，绝对值不等	取绝对值较大的加数的符号，用较大的绝对值减较小的	$-8+5=-3$，$8+(-5)=3$
异号，绝对值相等	互为相反数，和是 0	$-8+8=0$
与 0 相加	还是这个数	$0+(-7)=-7$

同号：绝对值相加，符号不变。异号：先抵消，再看剩下谁。 “大减小，取绝对值大的数的符号”只适用于异号且绝对值不等的两个数。

第二行最容易出错，因为要分两步走。以 $-8+5$ 为例：

1. 先比绝对值：$\lvert -8\rvert=8$ 比 $\lvert 5\rvert=5$ 大，所以结果取“−”号；
2. 再算格数：$8-5=3$；
3. 合起来：$-8+5=-3$。

检查时可以问：花 8 元只补回 5 元，应该仍减少一些，所以答案 −3 符合事情的变化。若写成 +3 或 −13，就与收支不符。

想知道这几条规则为什么长成这样，可以看用“走路”理解有理数加法法则与减法法则：把每个数读成数轴上的一步，同方向就越走越远，反方向就先抵消。

减法：只变两处，另一处不能动

买一支 5 元的笔后，钱包还剩 2 元。记账本上刚记了一笔 −5 元。现在退货并收到 5 元退款，要撤销那笔支出，钱变成 7 元。

撤销 −5 元这笔变化，可以记作 $2-(-5)$；收到退款，可以记作 $2+5$。两种写法说的是同一件事。

减去一个数，等于加上它的相反数：

$$a-b=a+(-b)$$

变号只变两处——减号变加号，减数变相反数；被减数不动。

• $5-8=5+(-8)=-3$：$8$ 变成 $-8$，前面的 $5$ 还是 $5$。
• $2-(-5)=2+5=7$：减数是 $-5$，它的相反数是 $5$。

为什么这条规则能用于每个有理数？相反数相加得 0。减去 $b$，就是要抵消 $b$ 带来的变化；加上 $-b$ 正好能抵消它。还可用加法验算：差加上减数，应等于被减数。例如 $7+(-5)=2$，所以 $2-(-5)=7$。

温度也能帮助验算。早晨 −3 ℃，中午 5 ℃，上升了多少？从 −3 到 0 上升 3 ℃，再到 5 上升 5 ℃，共 8 ℃。这正是 $5-(-3)=8$。

第 1 题：混合运算先全部化成加法

$$-9+7-(-5)-11$$

式子里有两个减法（$-(-5)$ 和最后那个 $-11$），先统一成加法：

$$(-9)+7+5+(-11)$$

现在四个数都是加数，可以自己排顺序。把同号的放一起：

$$(-9-11)+(7+5)=-20+12=-8$$

写成“$-9+7+5-11$”这种简写时，读作“负 9、正 7、正 5、负 11 的和”。一旦统一成加法，加法的交换律和结合律就能用了。

换位置时，数要带着自己的符号一起走。 这里的 −11 可以移到前面，不能只搬走 11，把负号留在原地。减法本身没有交换律：$3-5=-2$，而 $5-3=2$。

第 2 题：用运算律把式子凑好算

$$-2.5+3.7-1.5+2.3$$

这里的技巧是凑整：$-2.5$ 和 $-1.5$ 同号，加起来正好是 $-4$；$3.7$ 和 $2.3$ 同号，加起来正好是 $6$。

$$(-2.5-1.5)+(3.7+2.3)=-4+6=2$$

这两步用到的是加法交换律（可以换位置）和加法结合律（可以先算其中两个）。要写成过程，通常这样表达：

原式 $=(-2.5-1.5)+(3.7+2.3)$（加法交换律、结合律） $=-4+6=2$。

第 3 题：分数先看分母

$$\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{3}\right)+\left(-\frac{1}{6}\right)$$

先化成加法，去掉括号：

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}$$

分母 2、3、6 的最小公倍数是 6，通分后一次算完：

$$\frac{3}{6}+\frac{2}{6}-\frac{1}{6}=\frac{3+2-1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$

为什么要通分？半张纸和三分之一张纸，分成的每小份大小不同。都改成六分之一张后，才能直接数一共几份。

分数加减：先通分，只加减分子，分母保持不变。 最后把 $\frac{4}{6}$ 约成 $\frac{2}{3}$。两者的值相同，写成最简分数才完成通常要求的整理。

小数也是一样。$-0.7+0.25=-0.70+0.25=-0.45$，把小数点对齐，是让十分位与十分位、百分位与百分位相加。结果为负，因为 0.70 大于 0.25。

第 4 题：上升记正，下降记负

早晨 $-2$ ℃，中午上升 $8$ ℃，夜间下降 $11$ ℃。

$$-2+8-11=6-11=-5$$

所以夜间气温是 $-5$ ℃。

这类题的关键是把每一步都翻译成加减：上升 $8$ ℃ 就是 $+8$，下降 $11$ ℃ 就是 $-11$。列式时先写清楚起点是 $-2$，不要漏掉起点直接写 $8-11$。

括号与绝对值，先处理里面

先算括号：

$$-6-[2-(-3)]=-6-5=-11$$

中括号里的 $2-(-3)=5$。把整个括号换成 5，外面的减号还在，所以是 −6−5。先算里面最稳妥，不需要一开始就展开所有符号。

再比较三个绝对值算式：

算式	先做什么	结果
$\lvert -7+3\rvert$	里面的和是 −4，再求距离	4
$\lvert -7\rvert+\lvert 3\rvert$	分别求两个距离，再相加	10
$-\lvert -7\rvert+3$	绝对值是 7，外面保留负号	−4

它们可以对应三种问题：先向西 7 米再向东 3 米，最后离家 4 米；两段路总共走 10 米；最后的位置在家西边 4 米，记作 −4。看清题目问的是位置、离家距离，还是走过的总路程。

从小数练到括号与绝对值

练习 1 计算 $-3.5+2.7-(-6.5)-4.7$。

核对练习 1

先化成加法：$-3.5+2.7+6.5-4.7$。

再凑整：$-3.5$ 与 $6.5$ 相加得 $3$；$2.7$ 与 $-4.7$ 相加得 $-2$。

原式 $=(-3.5+6.5)+(2.7-4.7)=3+(-2)=1$。

练习 2 计算 $-\frac{3}{4}-\left(-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{8}$，先预测结果的正负。

核对练习 2

减法化成加法后，正数部分是 $\frac{1}{2}+\frac{1}{8}=\frac{5}{8}$；负数的绝对值是 $\frac{3}{4}=\frac{6}{8}$。负数部分更大，结果为负。

$-\frac{3}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{8}=-\frac{6}{8}+\frac{4}{8}+\frac{1}{8}=-\frac{1}{8}$。

练习 3 计算 $|-7+3|-|-7|-(-2)$ 和 $-4-[3-(-2)]$。

核对练习 3

第一题：$4-7+2=-1$。两个绝对值分别是 4 和 7，外面的减法继续保留。

第二题：先算 $3-(-2)=5$，再算 $-4-5=-9$。

练习 4 填入合适的数：$\square+(-7)=-2$。用加法核对。

核对练习 4

填 5。要从 −7 到 −2，需要向右增加 5，所以 $5+(-7)=-2$。

也可以求 $-2-(-7)=-2+7=5$，再代回原式验证。

练习 5 某水库的水位第一天上升 $0.3$ 米，第二天下降 $0.5$ 米，第三天上升 $0.2$ 米。三天后水位比开始时高还是低？变化了多少？

核对练习 5

$0.3-0.5+0.2=0.3+0.2-0.5=0.5-0.5=0$。

三天后水位和开始时一样高，变化是 $0$ 米。答“没有变化”比答“下降 0 米”更准确。

下次遇到加减题：先看括号与绝对值，再把减法化成加法。两个数相加时先辨同号、异号；换顺序时让每个数带着符号走。最后用收支、数轴或反算检查结果。

每天 10 题，练一个月

学懂后，每天做 10 道有代表性的题，用约 10–15 分钟独立完成。做完核对并订正；第二天先重做前一天的错题。若 10 题中错 3 题或更多，先复习错题对应的这一段，再做当天的新题。

打开 30 天加减法打印题册与答案。题册包含整数、小数、分数、0、括号、绝对值和简便运算。

检查自己是否看懂

小明算 $-3-(-9)$ 时写成了 $(-3)+(-9)=-12$。他错在哪里？正确的过程是什么？

查看答案与理由

他只把减号变成了加号，忘了把减数 $-9$ 变成它的相反数。减法法则要求两处一起变：减号变加号、减数变相反数。

正确过程：$-3-(-9)=-3+9=6$。

用数轴检查：从 $-3$ 向右走 9 格到 $6$。如果按他的写法得到 $-12$，那就等于又向左走了 9 格，方向正好相反。

深圳中考对应题

本节近五年深圳中考原卷题尚未完成核实，暂不收录。可以先做本课的原创练习。

查看逐年核验范围与出处