相反数与绝对值：哪一边，和有多远

题目

1. 填空：

（1）$-(-4)$ = ________，$\lvert -4\rvert$ = ________，$-\lvert -4\rvert$ = ________；

（2）若 $\lvert x\rvert=4$，则 $x$ = ________；

（3）$-\frac{1}{3}$ 的相反数是 ________，绝对值是 ________。

2. 已知数轴上点 A、B 表示的数分别是 −4 和 2。

（1）求 A、B 两点之间的距离；

（2）点 P 在数轴上表示的数是 $x$，且点 P 到点 A 的距离是 3，求 $x$ 的值；

（3）点 Q 在数轴上表示的数是 $y$，且点 Q 到原点的距离与点 B 到原点的距离相等，求 $y$ 的值。

3. 比较 $-\frac{3}{4}$ 与 $-\frac{4}{5}$ 的大小，并说明理由。

答案速览

点开看答案（先自己做一遍）

第 1 题。 （1）$-(-4)=4$，$\lvert -4\rvert=4$，$-\lvert -4\rvert=-4$；

（2）$x=4$ 或 $x=-4$；

（3）$-\frac{1}{3}$ 的相反数是 $\frac{1}{3}$，绝对值也是 $\frac{1}{3}$。

第 2 题。 （1）6；（2）$x=-1$ 或 $x=-7$；（3）$y=2$ 或 $y=-2$。

第 3 题。 $-\frac{4}{5}<-\frac{3}{4}$。

播放时看一对相反数关于原点对称、绝对值怎样量距离；然后拖动选数，自己说相反数和绝对值再核对。

从家向东或向西，走的路一样长

把家门口记作 0，向东记正。小明在家东边 4 米处，位置记作 +4；小红在家西边 4 米处，位置记作 −4。

两人的位置不同，但到家的距离相同，都是 4 米。

位置	在家的哪一边	到家的距离
+4 米	东边	4 米
−4 米	西边	4 米
0 米	就在家门口	0 米

+4 和 −4 互为相反数。它们的绝对值都是 4。“绝对值”就是把这种到原点的距离写成一个数。

这一节的知识地图

相反数与绝对值

相反数

• 只有符号不同的两个数互为相反数

  a 的相反数是 −a

• 0 的相反数还是 0

• 几何意义：关于原点对称

  两个相反数到原点的距离相等

• 连续取相反数

  取偶数次回到原数，取奇数次得到原数的相反数；不能把加减算式里的负号一起数

绝对值

• |a| 是到原点的距离

  距离不会是负数，所以 |a| ≥ 0

• 去掉绝对值要分类

  • a ≥ 0 时，|a| = a
  • a < 0 时，|a| = −a此时 −a 是正数

• 两个数之间的距离是 |m − n|

  不必先判断谁在左边

用数轴比较大小

• 数轴上右边的数总比左边的数大

• 正数 > 0 > 负数

• 两个负数比较，绝对值大的反而小

  例如 −3 < −2，因为 |−3| > |−2|

位置和距离回答不同的问题

把有理数放回数轴以后，描述一个点只需要两句话：它在 0 的哪一边（方向），它离 0 多远（距离）。这一节的两个概念正好各管一句。

• 相反数管方向：把点翻到 0 的另一边，距离不变。
• 绝对值管距离：只问离 0 多远，不管在哪一边。

分清这两句话，− 号和 |　| 就不会混。

相反数：只改方向，不改距离

只有符号不同的两个数互为相反数，$a$ 的相反数是 $-a$。在数轴上，它们关于原点对称，到原点的距离相等。$0$ 的相反数还是 $0$。

先看第 1 题（1）的第一个式子：

$$-(-4)=4$$

读法是：“−4 的相反数”。 $-4$ 在原点左边 4 格，它的相反数就在原点右边 4 格，也就是 $4$。式子前面的这个“−”，表示的不是“负”，而是“取相反数”。

连续取相反数时，每取一次就翻到另一边。取两次便回到原来的数：$-(-a)=a$。例如 $-(-4)=4$，再取一次相反数，$-[-(-4)]=-4$。

这种“翻几次”的想法只适用于连续取相反数。像 $-3-5$ 里有减法，不能数两个负号就说答案为正。

绝对值：只问距离，不问方向

$\lvert a\rvert$ 表示数轴上表示 $a$ 的点到原点的距离。 距离不可能是负数，所以

$$\lvert a\rvert\ge 0$$

于是 $\lvert -4\rvert=4$：$-4$ 在原点左边，但离原点有 4 格，距离就是 4。符号只说明在哪一边，不改变距离。

去掉绝对值要分情况：

$a$ 是什么数	距离怎样表示	结果
$a\ge 0$	用 $a$ 本身	$\lvert a\rvert=a$
$a<0$	用它的相反数	$\lvert a\rvert=-a$（此时 $-a$ 是正数）

第二种情况为什么写成 $-a$？因为 $a$ 在原点左边时，右边那个离原点同样远的点正好是 $-a$，而它是个正数。完整的推理见从数轴理解 a 的绝对值。

例如 $a=-6$，$-a=-(-6)=6$。写成 $|a|=-a$ 时，右边仍然是 6。字母前面有负号，不等于它的值为负。

三个式子，三种含义

第 1 题（1）的三个式子长得很像，做的事却不同：

式子	先做什么	结果
$-(-4)$	求 $-4$ 的相反数	$4$
$\lvert -4\rvert$	求 $-4$ 到原点的距离	$4$
$-\lvert -4\rvert$	先算 $\lvert -4\rvert=4$，再取相反数	$-4$

第三个式子的“−”在最外面，是对绝对值的结果再取相反数，所以答案是负的。先看“−”在哪一层，再决定先算什么。

绝对值里面先算什么

比较下面两道题。绝对值符号的范围不同，答案也会不同。

$$|-5+2|=|-3|=3$$

先算里面的和 −3，再求它到 0 的距离。对应到小路上：从家向西 5 米，再向东 2 米，最后离家 3 米。

$$|-5|+|2|=5+2=7$$

这里先分别求两步的长度，再相加，表示总共走了 7 米。最后离家多远，与总共走多远，是两件事。 不能把和的绝对值随意拆开。

再看 $-|-6|+|2-5|$：先算 $|-6|=6$ 和 $|2-5|=3$，原式变成 $-6+3=-3$。绝对值本身不为负，外面的运算仍可能得到负数。

到某个点的距离，先看在它哪一边

第 2 题中，A 在 −4，B 在 2。从 A 到 0 有 4 格，从 0 到 B 有 2 格，合起来 6 格。

也可以用右边的数减左边的数：$2-(-4)=6$。减去负数的算法会在下一课说明；现在先用数轴数格子。

（1）A 表示 −4，B 表示 2。

$$AB=4+2=6$$

从 $-4$ 向右走 6 格正好到 $2$，检验通过。

（2）P 到 A 的距离是 3。 P 离 −4 有 3 格。题目没有说在 A 的哪一边，所以两个方向都要找：

• 向右：$x=-4+3=-1$；
• 向左：$x=-4-3=-7$。

核对：−1 在 −4 右边 3 格，−7 在 −4 左边 3 格，都成立。注意，这两个点都在原点左边。

（3）Q 到原点的距离与 B 到原点的距离相等。 B 到原点的距离是 $\lvert 2\rvert=2$，所以 $\lvert y\rvert=2$，得 $y=2$ 或 $y=-2$。

学完下一课减法后，再记两点距离的通用写法：$|m-n|$。相减得到的正负表示方向，取绝对值后留下距离。交换两点，距离不变：$|m-n|=|n-m|$。

负数比大小：谁在左边谁更小

第 3 题比较 $-\frac{4}{5}$ 和 $-\frac{3}{4}$。把它们写成小数看得更清楚：$-0.8$ 和 $-0.75$。

两个数都是负数，都在原点左边。离原点更远的那个，在数轴上更靠左，因此更小。

$$\left\lvert -\frac{4}{5}\right\rvert=0.8>0.75=\left\lvert -\frac{3}{4}\right\rvert,\qquad -\frac{4}{5}<-\frac{3}{4}$$

所以记法是：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 这条规则和正数正好相反，原因就是数轴的方向——负号让“距离大”变成了“位置更左”。

再练三道

练习 1 已知 $\lvert x\rvert=5$。（1）求 $x$；（2）若再加条件 $x<0$，求 $x$。

核对练习 1

（1）$x=5$ 或 $x=-5$，两个都满足“离原点 5 格”。

（2）附加条件 $x<0$ 说明 $x$ 在原点左边，只剩 $x=-5$。附加条件的作用就是筛掉另一个解。

练习 2 数轴上点 A 表示 $-2$，点 B 表示 $3$，点 P 表示 $x$，且 P 到 A 的距离等于 P 到 B 的距离，求 $x$。

核对练习 2

P 在 A、B 正中间。若在 A 的左边，到 B 会比到 A 多走整段 AB；在 B 右边也一样，两个距离不可能相等。

A 到 B 一共 5 格，一半是 2.5 格。从 −2 向右走 2.5 格，到 0.5，所以 $x=0.5$。

核对：0.5 到 −2、到 3 都是 2.5 格。这里问的是“到两个不同点一样远”，只有中间这个位置。

练习 3 分别求 $|-(-7)|$ 与 $-|-7|$ 的值。说出每个式子最外面的符号在做什么。

核对练习 3

$|-(-7)|=|7|=7$：先取 −7 的相反数，再求到原点的距离。

$-|-7|=-7$：先求 −7 到原点的距离，再取所得结果的相反数。最外面的负号仍要计算。

检查自己是否看懂

已知 $\lvert a\rvert=-a$，那么 $a$ 是什么数？

查看答案与理由

$a$ 是非正数，也就是 $a\le 0$（负数或 0）。

$a$ 为负数时，$-a$ 正好是到原点的距离；$a=0$ 时两边都是 0。

若 $a$ 为正数，$|a|$ 为正，$-a$ 为负，两边不相等。把三种情况都检查过，答案就是“负数或 0”。

深圳中考对应题

本节近五年深圳中考原卷题尚未完成核实，暂不收录。可以先做本课的原创练习。

查看逐年核验范围与出处