有理数、正负数与数轴：先把数分清楚

题目

1. 把下列各数分别填入相应的集合：

$$-7,\quad 0.35,\quad -\frac{2}{3},\quad 0,\quad 2026,\quad -1.5,\quad +9,\quad -\frac{1}{2},\quad 3.14,\quad -100,\quad \frac{22}{7}$$

正数集合：________　　负数集合：________　　整数集合：________

分数集合：________　　有理数集合：________

2. 用正负数表示下列各量：

（1）如果向东走 5 米记作 +5 米，那么向西走 8 米记作 ________ 米；

（2）某水库的水位比警戒水位高 0.3 米记作 +0.3 米，那么 −0.5 米表示 ________；

（3）如果收入 200 元记作 +200 元，那么支出 150 元记作 ________ 元。

3. 在数轴上表示下列各数，并用“＜”把它们连接起来：

$$-2.5,\quad 3,\quad 0,\quad -4,\quad 1.5$$

答案速览

点开看答案（先自己做一遍）

第 1 题。

• 正数集合：$0.35$，$2026$，$+9$，$3.14$，$\frac{22}{7}$；
• 负数集合：$-7$，$-\frac{2}{3}$，$-1.5$，$-\frac{1}{2}$，$-100$；
• 整数集合：$-7$，$0$，$2026$，$+9$，$-100$；
• 分数集合：$0.35$，$-\frac{2}{3}$，$-1.5$，$-\frac{1}{2}$，$3.14$，$\frac{22}{7}$；
• 有理数集合：题目给出的 11 个数全部。

第 2 题。 （1）−8 米；（2）水位比警戒水位低 0.5 米；（3）−150 元。

第 3 题。

$$-4<-2.5<0<1.5<3$$

播放时看相反的量、数轴三要素和分类怎样一步步出现；然后拖动选一个数，自己说位置再核对。

温度计上为什么有负数

天气预报里的 $5$ ℃ 和 $-5$ ℃，都离 0 ℃ 相差 5 ℃。一个在 0 ℃ 以上，一个在 0 ℃ 以下。只写“5”就分不清是哪一种。

我们用正负号区分这两边：零上 5 ℃ 写作 $+5$ ℃，零下 5 ℃ 写作 $-5$ ℃。正号通常可以省略。

这里的 0 ℃ 是比较的基准，不是“没有温度”。同样，把出发点记作 0 米，也不是说那里“没有位置”。0 的含义要联系题目。

再看零花钱的记录。约定收到的钱记正，花掉的钱记负：收到 20 元记作 +20 元，买文具花 8 元记作 −8 元。负号表示钱减少了，花的钱仍是 8 元。

这一节的知识地图

有理数、正负数与数轴

正数与负数

• 表示相反意义的量

  先规定哪一个方向为正，另一个方向就记作负

• 0 是分界

  0 既不是正数，也不是负数；它是最小的非负整数

• 带“−”号不一定就是负数

  要先看这个数本身是什么数

有理数的分类

• 按定义分：整数与分数统称有理数

  • 整数正整数、0、负整数
  • 分数正分数、负分数

• 按符号分：正有理数、0、负有理数

• 有限小数与循环小数都是有理数

  都能写成整数之比（分母不为 0）；1.0 是整数，0.35 = 7/20 是分数

数轴

• 三要素缺一不可

  原点、正方向、单位长度

• 单位长度必须统一

  相同的数值差对应相同的距离，不能一段代表 1、同样长的另一段代表 2

• 每个有理数都对应数轴上一个点

  数轴把“数”和“位置”对上了

分类的判据只有两条

一个数可以从不同角度分类。先选定分类标准，再逐个判断。

判据一：整数，还是分数

• 整数：正整数、0、负整数。这里的 $-7$、$0$、$2026$、$+9$、$-100$ 都是整数。
• 分数：本章分类时，指有理数中不是整数的数。$-\frac{2}{3}$、$-\frac{1}{2}$、$\frac{22}{7}$ 都不是整数；$0.35$、$-1.5$、$3.14$ 也不是整数，能改写成分数：

$$0.35=\frac{35}{100}=\frac{7}{20},\qquad -1.5=-\frac{15}{10}=-\frac{3}{2},\qquad 3.14=\frac{314}{100}=\frac{157}{50}$$

整数和分数都能写成两个整数的比，分母不能为 0。这是判断有理数的依据。

例如 $2=\frac{2}{1}=\frac{6}{3}$。三个写法表示同一个整数 2。$2.0$ 也等于 2，有小数点仍然是整数。

所以，先算清它等于什么数。能化成整数的，归入整数；不能化成整数的有理数，归入分数。不要只看外形。

小学认识的循环小数也属于有理数，例如 $0.333\ldots=\frac{1}{3}$，这里的 3 无限循环。有限小数和无限循环小数都能写成分数。

判据二：正数、负数，还是零

• $0.35$、$2026$、$+9$、$3.14$、$\frac{22}{7}$ 在原点右边，都是正数；其中 $+9$ 和 $9$ 是同一个数，正号可以省略。
• $-7$、$-\frac{2}{3}$、$-1.5$、$-\frac{1}{2}$、$-100$ 在原点左边，都是负数。
• $0$ 既不是正数，也不是负数，它是正数与负数的分界。

正负数表示的是“方向相反”

第 2 题的三小问其实是同一件事：先规定哪一边为正，与它相反的那一边就必须用负号。

规定为正的	与它相反的量	记作
向东走 5 米记作 +5 米	向西走 8 米	−8 米
比警戒水位高 0.3 米记作 +0.3 米	比警戒水位低 0.5 米	−0.5 米
收入 200 元记作 +200 元	支出 150 元	−150 元

支出 150 元写成 −150 元，表示与收入相反，金额是 150 元。解释 −0.5 米时，要写清“比警戒水位低 0.5 米”，这样才知道和哪里比。

把数放回数轴

想象一条笔直的小路。把家门口标作 0，向右定为正，每相邻两个整数之间的距离都一样。这样的一条直线就是数轴。

数轴的三要素是原点、正方向、单位长度。单位长度一旦选定，每一格就要一样长。负数、0、正数在同一条数轴上，数轴向两边无限延伸。

第 3 题中的 $-2.5$ 在 −3 与 −2 的正中间，$1.5$ 在 1 与 2 的正中间。小数和分数也能在数轴上找到位置。

把五个数从左到右排好：

• $-4$ 在最左边，$-2.5$ 在它右边、原点左边；
• $0$ 是原点；
• $1.5$ 和 $3$ 在原点右边，$3$ 更靠右。

比较大小只需要一句话：数轴上右边的数总比左边的数大。

$$-4<-2.5<0<1.5<3$$

注意 $-4$ 和 $-2.5$ 这一对：$-4$ 离原点更远，反而更小。负数比大小，看得不是离原点多远，而是在数轴上谁在左边。 这一点在第 2 课学绝对值时会再遇到一次。

再练三道

练习 1 把 $-3$、$0.5$、$-\frac{7}{4}$、$0$、$-12$ 分成正数、0、负数三类，并说出其中哪些是整数。

核对练习 1

正数：$0.5$。负数：$-3$、$-\frac{7}{4}$、$-12$。整数：$-3$、$0$、$-12$。

$0$ 单独一类：既不是正数，也不是负数，但它是整数。这一格最容易被填错。

练习 2 如果把向东走记为正，那么 $-6$ 米表示什么？先走 $+6$ 米，再走 $-6$ 米，最后离出发点多远？

核对练习 2

$-6$ 米表示向西走 6 米。先向东 6 米，再向西 6 米，回到出发点，距离是 $0$ 米。

这两步方向相反、长度相同，正好互相抵消。下一节会用到：原点两侧、到原点距离相等的两个点，表示一对相反数。

练习 3 $\frac{-12}{4}$、$3.0$、$-0.25$ 中，哪些是整数？为什么不能只看写法？

核对练习 3

$\frac{-12}{4}=-3$、$3.0=3$，都是整数。$-0.25=-\frac{1}{4}$ 不是整数，属于分数。

分类看数的值。同一个数换一种写法，类别不变。

检查自己是否看懂

$3.14$ 是有理数吗？它和 $\pi$ 是同一个数吗？

查看答案与理由

$3.14$ 是有理数。它是有限小数，能写成 $\frac{157}{50}$，也就是两个整数的比。

它不等于 $\pi$。$3.14$ 只是 $\pi$ 的近似值，$\pi$ 的小数位是 $3.14159\cdots$，写不完也写不循环。把近似值当成那个数本身，是常见的错误。

深圳中考对应题

本节近五年深圳中考原卷题尚未完成核实，暂不收录。可以先做本课的原创练习。

查看逐年核验范围与出处