有理数的乘方与科学记数法：指数管什么

题目

1. 计算：$(-2)^3$，$(-2)^4$，$-2^4$，$\left(-\frac{2}{3}\right)^2$。

2. 计算：$-1^{2026}+(-1)^{2025}$。

3. 用科学记数法表示下列各数：

（1）3 840 000；　　（2）−52 000 000。

4. 已知 $x^2=16$，求 $x$ 的值。

答案速览

点开看答案（先自己做一遍）

第 1 题： $(-2)^3=-8$，$(-2)^4=16$，$-2^4=-16$，$\left(-\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}$。

第 2 题： $-1^{2026}+(-1)^{2025}=-1+(-1)=-2$。

第 3 题： （1）$3.84\times 10^6$；（2）$-5.2\times 10^7$。

第 4 题： $x=4$ 或 $x=-4$。

播放时从对折到括号定底数、符号看指数；再换底数指数核对幂。

这一节的知识地图

乘方与科学记数法

乘方的意义

• aⁿ 表示 n 个 a 相乘

  本章 n 为正整数；a 是底数，n 是指数，aⁿ 是幂

• 底数是负数或分数时要加括号

  (−2/3)² 与 −2/3² 不是同一个式子

幂的符号规律

• 正数的正整数次幂都是正数

• 负数的奇数次幂为负，偶数次幂为正

  这里的指数都是正整数

• 0 的任何正整数次幂都是 0

• (−2)⁴ 与 −2⁴ 不同

  前者是 −2 的四次方得 16，后者是 2⁴ 的相反数得 −16

科学记数法

• 写成 a×10ⁿ，其中 1 ≤ |a| < 10

  本课只表示绝对值不小于 10 的大数，所以 n 为正整数

• 本课大数的 n = 整数部分位数 − 1

  不计负号；3840000 有 7 位整数，写成 3.84×10⁶

• 负数照写，符号留在 a 上

  −52000000 = −5.2×10⁷

乘方：相同因数的乘法

拿一张纸，每次把整叠纸对折。只看前几次的层数：

对折次数	层数怎样算	层数
1 次	$2$	2 层
2 次	$2\times2$	4 层
3 次	$2\times2\times2$	8 层
4 次	$2\times2\times2\times2$	16 层

每次都乘 2。重复出现的因数是 2，出现几次就写几次方。纸张会越折越厚，实际不能一直折下去；乘方算式却可以继续表示“每次翻倍”的数量。

这一节的乘方先讨论正整数指数，也就是 1、2、3、……：

$$a^n=\underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{n\ \text{个}\ a}$$

$a$ 叫底数，是重复相乘的那个数。$n$ 叫指数，表示有几个这样的因数。乘方的结果叫幂。

例如 $2^3$ 中，底数是 2，指数是 3，幂是 8。$a^1=a$，$a^2$ 读作“$a$ 的平方”，$a^3$ 读作“$a$ 的立方”。

一对括号决定底数是谁

$(-2)^4$ 和 $-2^4$ 看起来只差一对括号，含义完全不同：

式子	底数是谁	展开成	结果
$(-2)^4$	$-2$	$(-2)(-2)(-2)(-2)$	$16$
$-2^4$	$2$	$-(2\times 2\times 2\times 2)$	$-16$

有括号：负号属于底数，跟着一起乘。没有括号：先算乘方，最后再取相反数。

分数和负数作底数时，括号都不能省。$\left(-\frac{2}{3}\right)^2$ 表示两个 $-\frac{2}{3}$ 相乘，结果是 $\frac{4}{9}$；写成 $-\left(\frac{2}{3}\right)^2$ 则是先算 $\frac{4}{9}$ 再取相反数，得 $-\frac{4}{9}$。

负数的正整数次方，符号看指数

因为负因数相乘时“负号两两抵消”，所以：

• 正数的正整数次幂都是正数；
• 负数的奇数次幂是负数，正偶数次幂是正数；
• $0$ 的任何正整数次幂都是 $0$。

一句话：底数是负数时，看指数是奇数还是偶数；指数是奇数，结果是负的。

第 1 题逐项。

• $(-2)^3$：3 个 $-2$ 相乘，指数 3 是奇数，结果为负；$2^3=8$，所以是 $-8$。
• $(-2)^4$：指数 4 是偶数，结果为正；$2^4=16$，所以是 $16$。
• $-2^4$：底数是 $2$，先算 $2^4=16$，再取相反数，得 $-16$。
• $\left(-\frac{2}{3}\right)^2$：指数 2 是偶数，结果为正；$\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}$，所以是 $\frac{4}{9}$。

第 2 题：有没有括号，结果差很多

$$-1^{2026}+(-1)^{2025}$$

这一题两个 $1$ 的写法不一样，要分开看：

• $-1^{2026}$：没有括号，底数是 $1$，所以先算 $1^{2026}=1$，再取相反数，得 $-1$。
• $(-1)^{2025}$：有括号，底数是 $-1$，指数 2025 是奇数，所以结果是 $-1$。

两项相加：

$$-1+(-1)=-2$$

如果第二项写成 $(-1)^{2026}$，指数是偶数，结果就是 $1$，整个式子变成 $-1+1=0$。 括号和指数的奇偶，两处一起决定了答案。

科学记数法：大数的写法

假设一本书有 240 000 字。写成 $2.4\times100000$，仍然是同样多的字。因为 100 000 是 5 个 10 相乘，所以还可以写成：

$$240000=2.4\times10^5$$

这里的 $2.4$ 表示“2.4 个十万”，$10^5$ 表示“十万”。指数 5 不是字数，也不是 2.4 后面简单添 5 个零；乘 $10^5$ 要把小数点向右移 5 位。

科学记数法把非零数写成

$$a\times 10^n$$

的形式，其中 $1\leq|a|<10$，$n$ 是整数。正数的 $a$ 为正，负数的 $a$ 为负。

这一节只练绝对值至少是 10 的大数，此时 $n$ 是正整数。绝对值在 1 到 10 之间（含 1、不含 10）的数，要用 $n=0$；绝对值小于 1 的非零小数，要用负整数指数。这两种指数以后再学，不能把它们解释成“零个或负几个因数相乘”。

写这一节的大数时，先不看正负号：$n$ 等于整数部分的位数减 1。

第 3 题。

• $3840000$ 的整数部分有 7 位，所以 $n=7-1=6$，写作 $3.84\times 10^6$。
• $-52000000$ 先不看负号：$52000000$ 的整数部分有 8 位，$n=7$，写作 $5.2\times 10^7$；再补上负号，得 $-5.2\times 10^7$。

核对一下：$5.2\times 10^7=5.2\times 10000000=52000000$，位数和数值都对得上。

检查时看 $a$ 的绝对值。例如 $-5.2$ 符合要求，因为 $|-5.2|=5.2$。

$52\times10^6$ 和 $0.52\times10^8$ 都等于 52 000 000，但都不符合科学记数法的格式。前一个系数太大，后一个太小。正确写法是 $5.2\times10^7$。

第 4 题：平方等于 16 的数有两个

$$x^2=16$$

平方就是两个相同的数相乘。因为同号相乘得正，所以正的和负的都有可能：

• $4\times 4=16$，所以 $x=4$；
• $(-4)\times(-4)=16$，所以 $x=-4$。

答案是 $x=4$ 或 $x=-4$，只写 $4$ 就漏了一个。

这道题也可以想成 $|x|=4$：数轴上离 0 的距离是 4，左右两边各有一个点。

但有平方或绝对值，不一定就有两个答案。先看右边的数，再看题目有没有限制 $x$：

条件	答案	理由
$x^2=16$，$x$ 为有理数	$4$ 或 $-4$	两个数平方都得 16
$x^2=0$	只有 $0$	非零数的平方大于 0
$x^2=-16$，$x$ 为有理数	没有这样的数	有理数的平方不小于 0
正方形边长 $x$ 满足 $x^2=16$	只有 $4$	边长必须大于 0

距离也要这样检查：$|x|=4$ 有两个答案，$|x|=0$ 只有 0，$|x|=-4$ 没有答案。

自编练习：先做，再核对

练习 1 计算 $(-1)^{2026}+(-1)^{2025}$。

核对练习 1

这一题两项都有括号：$(-1)^{2026}$ 指数是偶数，得 $1$；$(-1)^{2025}$ 指数是奇数，得 $-1$。

所以原式 $=1+(-1)=0$。

和第 2 题对比着看：第 2 题第一项是 $-1^{2026}$（没有括号），得 $-1$，所以答案是 $-2$；这一题第一项加了括号，答案就变成 $0$。同一道题只差一对括号。

练习 2 用科学记数法表示 $60700000$。

核对练习 2

整数部分有 8 位，所以 $n=7$；把小数点移到 6 后面，得 $6.07\times 10^7$。

检查：$6.07$ 在 1 和 10 之间，符合要求。不要漏掉中间的 0：$6.7\times10^7=67000000$，比原数大了 6 300 000。

练习 3 一张纸连续对折 5 次，层数应写成 $2\times5$ 还是 $2^5$？再计算 $(-2)^5$ 和 $-2^5$。

核对练习 3

每次层数都乘 2，所以是 $2^5=32$ 层。$2\times5=10$ 表示 5 个 2 相加，不符合每次翻倍。

$(-2)^5=-32$，$-2^5=-32$。这里两式含义不同，但因为指数是奇数，结果恰好相同；不能据此认为括号总能省略。

练习 4 $x^2=9$ 时，$x$ 可以是多少？若 $x$ 表示面积为 9 平方厘米的正方形边长，答案有什么变化？

核对练习 4

只给 $x^2=9$，答案是 $x=3$ 或 $x=-3$。

表示正方形边长时，$x>0$，只能取 $x=3$，边长是 3 厘米。

检查自己是否看懂

计算 $-3^2\div(-3)^2$，并说明 $-3^2$ 和 $(-3)^2$ 为什么结果不同。

查看答案与理由

$-3^2$ 没有括号，底数是 $3$，先算 $3^2=9$，再取相反数，得 $-9$。

$(-3)^2$ 有括号，底数是 $-3$，指数 2 是偶数，结果为正，得 $9$。

所以原式 $=-9\div 9=-1$。

两个式子只差一对括号，一个把负号放在乘方外面，一个把负号放进了底数里。做乘方题的第一步永远是先找底数。

深圳中考对应题

本节近五年深圳中考原卷题尚未完成核实，暂不收录。可以先做本课的原创练习。

查看逐年核验范围与出处