有理数的混合运算：顺序、技巧与易错清单

题目

1. 计算：$-1^{2026}-(-2)^3\times\frac{1}{4}+\lvert -3\rvert$

2. 计算：$\left(-\frac{3}{4}+\frac{5}{6}-\frac{7}{12}\right)\times (-24)$

3. 计算：$-2^3\div 4\times\left(-\frac{1}{2}\right)$

4. 规定一种新运算：$a\otimes b=a\times b-a\div b$（其中 $b\ne 0$）。求 $(-6)\otimes 3$ 的值。

5. 已知 $\lvert a\rvert=3$，$b^2=25$，且 $a>b$，求 $a+b$ 的值。

答案速览

点开看答案（先自己做一遍）

第 1 题： $4$。

第 2 题： $12$。

第 3 题： $1$。

第 4 题： $-16$。

第 5 题： $a+b=-2$ 或 $a+b=-8$。

播放时过一遍顺序三句话与分层；再逐层点开算式，先算后核。

买文具，为什么有时先加、有时先乘

一本本子 3 元，一支笔 5 元。买 1 本本子和 2 支笔，费用是 $3+5\times2=13$ 元：先算两支笔共 10 元，再加本子的 3 元。

若买 2 套“1 本本子加 1 支笔”，费用是 $(3+5)\times2=16$ 元。括号把一套的价格圈成一个整体，所以先算一套 8 元，再算两套。

括号改变了哪些数先合在一起。写 $3+5\times2$ 时先算 $3+5$，就把第一种购物改成了第二种。

这一节的知识地图

混合运算与易错清单

运算顺序

• 先乘方，再乘除，最后加减

• 有括号先算括号里面

  多层括号从内向外算，先后由嵌套位置决定

• 同级运算从左到右

  乘除是同级，加减是同级

常用的简便技巧

• 把减法统一成加法再结合

• 相反数先结合，和为 0

• 同分母、同符号的先结合

• 能约分或凑整的先乘

• 合理使用分配律

  把括号外的因数分别乘进去

易错清单

• 符号：先定符号，再算绝对值

• 括号：负数、分数作底数必须加括号

• 指数位置：(−2)⁴ 与 −2⁴

• 0 没有倒数，除数不能为 0

• 除数不能拆开分配

• 分类讨论：绝对值或平方给出两个可能值时不要漏解

运算顺序只有三句话

1. 先乘方，再乘除，最后加减。
2. 有括号从内到外算，不按括号的形状决定顺序。绝对值也先算里面，再求绝对值。
3. 同级运算从左到右：乘除是同一级，加减是同一级。

第 1 题：乘方和绝对值先算完

$$-1^{2026}-(-2)^3\times\frac{1}{4}+\lvert -3\rvert$$

按顺序把三个能先算的部分算出来：

• $-1^{2026}$：没有括号，先算 $1^{2026}=1$，再取相反数，得 $-1$；
• $(-2)^3$：有括号，底数是 $-2$，指数 3 是奇数，得 $-8$；
• $\lvert -3\rvert$：$-3$ 到原点的距离，得 $3$。

再按“先乘除、后加减”算：

$$-1-(-8)\times\frac{1}{4}+3=-1-(-2)+3$$

这里 $(-8)\times\frac{1}{4}=-2$，所以是减去 $-2$，也就是加上 $2$：

$$-1+2+3=4$$

原式 $=4$。“减去一个负数”这一步最容易写错，写成 $-1-2+3=0$ 就少了一个正号。

第 2 题：分配律比通分快

$$\left(-\frac{3}{4}+\frac{5}{6}-\frac{7}{12}\right)\times (-24)$$

$-24$ 是 4、6、12 的公倍数，所以让 $-24$ 分别乘进括号里的三项，每一项都是整数：

$$\left(-\frac{3}{4}\right)\times(-24)+\frac{5}{6}\times(-24)+\left(-\frac{7}{12}\right)\times(-24)=18-20+14$$ $$18-20+14=12$$

原式 $=12$。

三项的符号分别是：第一项负负得正（$18$），第二项正负得负（$-20$），第三项负负得正（$14$）。用分配律时，每一项都要乘到，符号跟着每一项自己走。

第 3 题：底数不是负的

$$-2^3\div 4\times\left(-\frac{1}{2}\right)$$

先看乘方：$-2^3$ 没有括号，底数是 $2$，所以 $-2^3=-(2\times 2\times 2)=-8$。

再按从左到右算同级运算：

$$-8\div 4=-2,\qquad -2\times\left(-\frac{1}{2}\right)=1$$

原式 $=1$。

如果错把 $-2^3$ 当成 $(-2)^3$ 来算，结果还是 $-8$，这一题看不出差别；但换成 $-2^2$ 与 $(-2)^2$ 就会一个得 $-4$、一个得 $4$。所以不能靠“反正答案一样”蒙过去，必须每次都先找底数。

第 4 题：新运算按定义照做

规定 $a\otimes b=a\times b-a\div b$（$b\ne 0$），求 $(-6)\otimes 3$。

新运算题的固定做法：把定义里的 $a$、$b$ 换成题目给的数，其他照抄。

这里 $a=-6$，$b=3$，代入得：

$$(-6)\otimes 3=(-6)\times 3-(-6)\div 3$$

分别算两项：

$$(-6)\times 3=-18,\qquad (-6)\div 3=-2$$

所以原式 $=-18-(-2)=-18+2=-16$。

把负数代入时，用括号把它圈成一个整体。原来的减号照抄，代入的 −6 也完整保留，这样才能看清谁在相减。

第 5 题：先用大小条件排除，再求和

已知 $\lvert a\rvert=3$，$b^2=25$，且 $a>b$，求 $a+b$。

第一步：把每个条件给出的可能值都写出来。

• $\lvert a\rvert=3$ 说明 $a$ 到原点的距离是 3，所以 $a=3$ 或 $a=-3$；
• $b^2=25$ 说明两个相同的数相乘得 25，所以 $b=5$ 或 $b=-5$。

第二步：先检查 $b=5$ 行不行。

$a$ 只有 3 和 −3 两种可能，它们都小于 5。因此 $b=5$ 时，$a>b$ 不成立，只能是 $b=-5$。

这时 $3>-5$ 和 $-3>-5$ 都成立，所以 $a$ 的两个值都要保留。下面的表可以核对有没有漏掉：

$a$	$b$	$a>b$ 成立吗	$a+b$
3	5	不成立	—
3	−5	成立	$-2$
−3	5	不成立	—
−3	−5	成立	$-8$

第三步：得出答案。 $a+b=-2$ 或 $a+b=-8$。

检查那两行成立的比较：

• $3>-5$：正数大于负数，成立。
• $-3>-5$：两个负数比大小，$\lvert -3\rvert=3$ 比 $\lvert -5\rvert=5$ 小，绝对值小的负数反而大，所以成立。

两个绝对值加起来是 0，能推出什么

已知 $|a+2|+|b-3|=0$，求 $a-b$。

绝对值都是距离，每个都不小于 0。两个不小于 0 的数相加为 0，只能两个都是 0；任何一个大于 0，和就会大于 0。

于是 $|a+2|=0$、$|b-3|=0$。距离为 0，里面的数就等于 0：$a+2=0$、$b-3=0$。

所以 $a=-2$、$b=3$，得到 $a-b=-2-3=-5$。代回原条件：$|0|+|0|=0$。

整章易错清单

做完题后，按自己刚才用到的运算核对。

容易错的地方	错的样子	正确的做法
符号	看到两个负号就说结果为正	先辨认加、减、乘、除，再按对应规则计算
减法变号	把被减数也变了号	只变两处：减号、减数
括号	$(-2)^4$ 当成 $-2^4$	先找底数，看清括号在哪
0	说 $0$ 的倒数是 $0$	$0$ 没有倒数，除数不能为 0
除法分配	把 $12\div\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)$ 拆成两项	和在被除数那一侧才能拆
运算顺序	先算加减，后算乘除	先乘方、再乘除、最后加减
绝对值条件	$\lvert x\rvert=4$ 只写一个解	右边为正有两解，为 0 有一解，为负无解，再检查附加条件

再练两道

练习 1 计算 $-2^2+(-2)^2-(-2)^3$。

核对练习 1

三项分别是：$-2^2=-4$（没有括号）；$(-2)^2=4$（有括号，偶数次幂为正）；$(-2)^3=-8$（有括号，奇数次幂为负）。

原式 $=-4+4-(-8)=-4+4+8=8$。

前两项正好抵消，第三项是“减去一个负数”，等于加上 $8$。这一题同时考了括号、指数奇偶和减法变号三处。

练习 2 已知 $\lvert m\rvert=2$，$n^2=9$，且 $m+n=-1$，求 $m$ 和 $n$。

核对练习 2

可能值：$m=2$ 或 $m=-2$；$n=3$ 或 $n=-3$。四种搭配逐一检查 $m+n=-1$：

$2+3=5$，$2+(-3)=-1$（成立），$-2+3=1$，$-2+(-3)=-5$。

只有一种成立：$m=2$，$n=-3$。

和第 5 题对照：附加条件有时留下两个解，有时只留一个。做法一样——全列出来再筛，不要凭感觉猜。

检查自己是否看懂

小明算 $(-24)\div\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\right)$ 时写成：

$$(-24)\div\frac{1}{4}-(-24)\div\frac{1}{3}=-96+72=-24$$

他错在哪里？正确结果是多少？

查看答案与理由

他把除法拆给了括号里的两个数。和出现在除数那一侧时不能拆开分配，必须先算括号里的差。

正确过程：先算括号里，$\frac{1}{4}-\frac{1}{3}=\frac{3}{12}-\frac{4}{12}=-\frac{1}{12}$；再算除法，$(-24)\div\left(-\frac{1}{12}\right)=(-24)\times(-12)=288$。

正确结果是 $288$，和小明的 $-24$ 差了符号又差了数量级。

如果和在被除数那一侧，例如 $\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\right)\div(-24)$，就可以逐项除。判断依据只有一条：看括号在分数线上面还是下面。

深圳中考对应题

本节近五年深圳中考原卷题尚未完成核实，暂不收录。可以先做本课的原创练习。

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