初一第二章 · 可折叠思维导图
有理数思维导图
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一、知识点
全章的知识结构：板块 → 规则 → 具体判断。点板块名展开，再点规则名展开。
有理数及其运算
有理数、正负数与数轴
正数与负数
- 表示相反意义的量先规定哪一个方向为正，另一个方向就记作负
- 0 是分界0 既不是正数，也不是负数；它是最小的非负整数
- 带“−”号不一定就是负数要先看这个数本身是什么数
有理数的分类
按定义分：整数与分数统称有理数
- 整数正整数、0、负整数
- 分数正分数、负分数
- 按符号分：正有理数、0、负有理数
- 有限小数与循环小数都是有理数都能写成整数之比（分母不为 0）；1.0 是整数，0.35 = 7/20 是分数
数轴
- 三要素缺一不可原点、正方向、单位长度
- 单位长度必须统一相同的数值差对应相同的距离，不能一段代表 1、同样长的另一段代表 2
- 每个有理数都对应数轴上一个点数轴把“数”和“位置”对上了
相反数与绝对值
相反数
- 只有符号不同的两个数互为相反数a 的相反数是 −a
- 0 的相反数还是 0
- 几何意义：关于原点对称两个相反数到原点的距离相等
- 连续取相反数取偶数次回到原数，取奇数次得到原数的相反数；不能把加减算式里的负号一起数
绝对值
- |a| 是到原点的距离距离不会是负数，所以 |a| ≥ 0
去掉绝对值要分类
- a ≥ 0 时，|a| = a
- a < 0 时，|a| = −a此时 −a 是正数
- 两个数之间的距离是 |m − n|不必先判断谁在左边
用数轴比较大小
- 数轴上右边的数总比左边的数大
- 正数 > 0 > 负数
- 两个负数比较，绝对值大的反而小例如 −3 < −2，因为 |−3| > |−2|
有理数的加减法
加法法则
- 同号相加：取相同符号，绝对值相加
- 异号且绝对值不等：取绝对值较大者的符号，用大减小
- 互为相反数相加得 0
- 一个数与 0 相加，仍得这个数
减法法则
- 减去一个数，等于加上它的相反数a − b = a + (−b)
- 变号只变两处减号变加号、减数变相反数；被减数不动
加减混合运算
- 先全部化成加法把减法都改写成加上相反数
- 可以写成省略加号的代数和−8 + 5 − 3 是 −8、+5、−3 的和；交换时每一项带着自己的符号
- 用运算律简化交换律与结合律；同号结合、相反数结合、同分母结合、凑整
有理数的乘除法
乘法法则
- 两数相乘：同号得正，异号得负，绝对值相乘
- 任何数与 0 相乘都得 0
- 多个非零因数相乘：看负因数的个数负因数个数为奇数时积为负，为偶数时积为正
- 有一个因数为 0，积就是 0
倒数
- 乘积为 1 的两个数互为倒数a 与 1/a 互为倒数（a ≠ 0）
- 0 没有倒数
- 倒数等于它本身的数是 1 和 −1不要把倒数与相反数混为一谈
- 非零分数求倒数：分子分母交换带分数要先化成假分数
除法法则
- 除以一个不为 0 的数，等于乘它的倒数a ÷ b = a × 1/b（b ≠ 0）
- 两数相除：同号得正，异号得负，绝对值相除
- 0 除以非零数得 0；除数不能为 0
- 除法没有对除数的分配律不能把 a ÷ (b + c) 当作 a ÷ b + a ÷ c
运算律与技巧
- 乘法交换律、结合律把能约分或凑整的数先乘
- 乘法对加法的分配律a(b + c) = ab + ac；因此 (a + b) ÷ c = a ÷ c + b ÷ c（c ≠ 0）
- 乘除混合：从左到右除法先化成乘法，再一起约分
乘方与科学记数法
乘方的意义
- aⁿ 表示 n 个 a 相乘本章 n 为正整数；a 是底数，n 是指数，aⁿ 是幂
- 底数是负数或分数时要加括号(−2/3)² 与 −2/3² 不是同一个式子
幂的符号规律
- 正数的正整数次幂都是正数
- 负数的奇数次幂为负，偶数次幂为正这里的指数都是正整数
- 0 的任何正整数次幂都是 0
- (−2)⁴ 与 −2⁴ 不同前者是 −2 的四次方得 16，后者是 2⁴ 的相反数得 −16
科学记数法
- 写成 a×10ⁿ，其中 1 ≤ |a| < 10本课只表示绝对值不小于 10 的大数，所以 n 为正整数
- 本课大数的 n = 整数部分位数 − 1不计负号；3840000 有 7 位整数，写成 3.84×10⁶
- 负数照写，符号留在 a 上−52000000 = −5.2×10⁷
混合运算、易错清单与综合考题
运算顺序
- 先乘方，再乘除，最后加减
- 有括号先算括号里面多层括号从内向外算，先后由嵌套位置决定
- 同级运算从左到右乘除是同级，加减是同级
常用的简便技巧
- 把减法统一成加法再结合
- 相反数先结合，和为 0
- 同分母、同符号的先结合
- 能约分或凑整的先乘
- 合理使用分配律把括号外的因数分别乘进去
易错清单
- 符号：先定符号，再算绝对值
- 括号：负数、分数作底数必须加括号
- 指数位置：(−2)⁴ 与 −2⁴
- 0 没有倒数，除数不能为 0
- 除数不能拆开分配
- 分类讨论：绝对值或平方给出两个可能值时不要漏解
二、考点
每个板块在试卷上以什么形式出现。
考点
有理数、正负数与数轴
- 把给出的数填进正数、负数、整数、分数、有理数各集合。
- 用正负数表示相反意义的量（向东向西、收入支出、高于低于）。
- 在数轴上表示数、用“＜”连接，或求两点之间的距离。
相反数与绝对值
- 化简多重符号，例如 、。
- 已知绝对值或距离求原数（通常有两个答案）。
- 用数轴比较两个负数的大小。
有理数的加减法
- 直接计算两数相加：同号、异号、互为相反数、与 相加。
- 把减法改写成加法后再算。
- 加减混合运算，用运算律简化。
- 用有理数加减解决实际问题（气温变化、水位升降、收支）。
有理数的乘除法
- 多个数相乘，先判断积的符号再算绝对值。
- 求一个数的倒数（带分数先化成假分数）。
- 除法化乘法计算，或用分配律简化。
- 判断 能否拆成 。
乘方与科学记数法
- 计算 与 这类只差一对括号的对比题。
- 判断幂的符号，包括指数用字母表示的情况。
- 用科学记数法表示一个数，或把科学记数法还原成原数。
混合运算、易错清单与综合考题
- 含乘方、括号与绝对值的综合计算。
- 能简便计算就简便计算。
- 由绝对值与平方给出的条件求值，需要分类讨论。
- 整章易错点的辨析题。
三、关键点
要答对，必须记住哪些判断。
关键点
有理数、正负数与数轴
- 既不是正数也不是负数，但它是整数。
- 有限小数和循环小数都能写成整数之比（分母不为 ），所以都是有理数。
- 分类一次只能用一个标准，不能一边按整数/分数分、一边又冒出正负。
- 数轴上右边的数总比左边的数大，比大小先看位置。
相反数与绝对值
- 的相反数是 ；两个数在数轴上关于原点对称； 的相反数是 。
- 是到原点的距离，永远 。
- 时 ，此时 是正数。
- 两个负数比大小，绝对值大的反而小。
- 绝对值等于正数有两个解，等于 只有 ；有附加条件时再筛选。
有理数的加减法
- 同号相加：取相同符号，绝对值相加。
- 异号且绝对值不等：取绝对值较大者的符号，用大减小。
- 互为相反数相加得 ；一个数与 相加仍是它本身。
- ：变号只变两处，被减数不动。
- 化成加法后，带着每一项的符号交换、结合；优先凑整或抵消。
有理数的乘除法
- 两数相乘：同号得正、异号得负，绝对值相乘。
- 多个因数都不为 时，负因数个数为奇数积为负，为偶数积为正。
- 任何数与 相乘都得 ； 没有倒数。
- 倒数等于它本身的数是 和 。
- （）。
- 被除数的和可逐项除以同一个非零数；除法没有对除数的分配律。
乘方与科学记数法
- 本章 为正整数， 表示 个 相乘，不是 个 相加。
- 有括号时负号属于底数；没有括号时负号在乘方之外，最后才取相反数。
- 指数为正整数时：正数的幂为正；负数的奇次幂为负，偶次幂为正。
- 大数（绝对值至少 ）：，； 为整数部分位数减 ，不计负号。
混合运算、易错清单与综合考题
- 顺序：先乘方，再乘除，最后加减；多层括号从内向外算。
- 同级运算从左到右，乘除同级、加减同级。
- 绝对值先算内部的数，再求到 的距离；外面的负号仍要保留。
- 负数、分数作底数必须加括号。
- 如 或 ，先列出正负两种可能，再用其余条件筛选。
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