有理数培优挑战

$-0.08$ mm 的实际直径是 19.92 mm；直径最大的是记录为 $+0.05$ 的那个，实际直径 20.05 mm。

1. 记录值是“实际直径 − 标准直径”。$-0.08$ 表示比标准直径小 0.08 mm，实际是 $20-0.08=19.92$ mm。
2. 四个零件的实际直径依次是 $20.05$、$19.98$、$20$、$19.92$ mm。
3. 比大小不必换算：记录值越大，实际直径就越大。四个记录值中 $+0.05$ 最大，所以第一个零件直径最大。

（1）$0$、$-\frac{9}{3}$、$+7$、$-\frac{15}{5}$；（2）只有 $-3.5$；（3）都是有理数。

1. $- \frac{9}{3}$ 约分后是 $-3$，$-\frac{15}{5}$ 约分后也是 $-3$。能约成整数的就是整数，它们不算分数——这是最容易漏的一处。
2. $3.14159$ 是有限小数，能写成 $\frac{314159}{100000}$，属于分数；$\frac{22}{7}$ 本身就是分数。
3. 负分数要求“是分数”并且“是负数”。上面只剩 $-3.5$：它是有限小数，能写成 $-\frac{7}{2}$，是负分数。
4. 整数与分数统称有理数，所以这 7 个数全是有理数。判据是：能写成两个整数之比，且分母不为 $0$。

（1）$8$；（2）$-5$ 或 $-1$。

1. 两点距离用右边的数减去左边的数：$5-(-3)=5+3=8$。不必先判断谁大，写成 $\lvert -3-5\rvert$ 也一样。
2. $AC=2$ 表示 $C$ 到 $A$ 的距离是 2。以 $A$（即 $-3$）为中心，向左 2 格是 $-5$，向右 2 格是 $-1$。
3. 这里距离是正数 $2$，所以有左右两个点，都要写出。若距离是 $0$，就只有定点本身；不能把“两点”套到距离为 $0$ 的情况。

（1）$-3.5$；（2）$a=\frac{2}{3}$；（3）$-1$。

1. （1）从里向外取相反数：$-(-3.5)=3.5$，再取相反数得 $-3.5$。也可从正数 $3.5$ 开始看成连续取了三次相反数。这里负号都表示取相反数，才能按次数的奇偶化简。
2. （2）“$a$ 的相反数是 $-\frac{2}{3}$”就是 $-a=-\frac{2}{3}$，两边取相反数得 $a=\frac{2}{3}$。
3. （3）互为相反数说明 $y=-x$，于是 $\frac{x}{y}=\frac{x}{-x}=-1$。条件 $x\ne 0$ 正是为了保证这个除法有意义。

（1）$-3$ 或 $-7$；（2）$7$。

1. 由 $\lvert a\rvert=5$ 得 $a=5$ 或 $a=-5$；由 $\lvert b\rvert=2$ 得 $b=2$ 或 $b=-2$。先把四种搭配列全，再用条件筛。
2. （1）$a<b$：取 $a=5$ 时，$5<2$ 与 $5<-2$ 都不成立，所以只能取 $a=-5$。此时 $b=2$ 得 $a+b=-3$，$b=-2$ 得 $a+b=-7$，两个都符合。
3. （2）$a>0$ 且 $b<0$ 直接把答案锁定成 $a=5$、$b=-2$，所以 $a-b=5-(-2)=7$。
4. 本题的两个绝对值都是正数，所以各有两个可能值。先列全再筛选，最后把留下的值代回条件检查；若绝对值等于 $0$，原数就只能是 $0$。

（1）$-\frac{3}{4}>-\frac{4}{5}$；（2）$-\lvert -2.5\rvert<-(-2.5)$。

1. （1）两个负数比大小，绝对值大的反而小。$\lvert -\frac{3}{4}\rvert=0.75$，$\lvert -\frac{4}{5}\rvert=0.8$，因为 $0.75<0.8$，所以 $-\frac{3}{4}$ 更大。
2. （2）先把两个式子各自化成一个数：$-\lvert -2.5\rvert=-2.5$，$-(-2.5)=2.5$。一负一正，负数总比正数小，所以 $-\lvert -2.5\rvert<-(-2.5)$。
3. 比较前先认清数值：遇到绝对值或多重负号，先化简；两个负分数可先通分比较绝对值，再反过来判断大小。

$-2$。

1. 先找能凑成整数的部分：前两个负数的分数部分是 $\frac{1}{3}$ 与 $\frac{2}{3}$，恰好合成 $1$。所以 $\left(-2\frac{1}{3}\right)+\left(-1\frac{2}{3}\right)=-\left(2\frac{1}{3}+1\frac{2}{3}\right)=-4$。
2. 再看剩下两个：$3\frac{1}{2}+\left(-1\frac{1}{2}\right)=2$。异号且绝对值不等，取绝对值较大者（$3\frac{1}{2}$）的符号，用大减小。
3. 最后 $(-4)+2=-2$。这是连加，可以用加法交换律、结合律；本题选择前两项结合，是因为它们能凑整。

（1）$7.5$；（2）$0$；（3）$-\frac{5}{4}$。

1. （1）减去 $-7.5$ 等于加上 $7.5$，得 $7.5$。$0$ 减去一个负数，结果反而是正数。
2. （2）两个减号都改成加相反数：$-3+(-5)+8$。前两项同号相加得 $-8$，再与 $8$ 相加，两者互为相反数，结果是 $0$。
3. （3）先化成加法并通分：$2\frac{1}{4}-3\frac{1}{2}=\frac{9}{4}+\left(-\frac{14}{4}\right)=-\frac{5}{4}$。异号相加，$-\frac{14}{4}$ 的绝对值更大，因此结果为负。
4. 每次把减法改成加法，只改这两处：减号变加号、减数变相反数，被减数不动。

$-50$。

1. 观察相邻的一正一负：后一个数的绝对值总比前一个大 $1$。把减法看成加相反数，就能用加法结合律两两配对：$(1-2)+(3-4)+\cdots+(99-100)$。
2. 每一对都是 $1-2=-1$。从 1 到 100 共 100 个数，两两配对得到 $100\div 2=50$ 对。
3. 所以原式 $=(-1)\times 50=-50$。分组时每项都保留自己的符号；不能把 $1-2+3-4$ 改成 $1-(2+3)-4$。

（1）$-120$；（2）$-4$。

1. （1）先数负因数：$-1$、$-3$、$-5$ 共 3 个，奇数个，积为负。再把绝对值相乘 $1\times 2\times 3\times 4\times 5=120$，得 $-120$。
2. （2）负因数有 $-0.25$、$-\frac{4}{7}$、$-4$ 共 3 个，奇数个，积为负。
3. 再凑整算绝对值：$0.25\times 4=1$，$\frac{4}{7}\times 7=4$，所以绝对值是 $1\times 4=4$，结果是 $-4$。
4. 多个数相乘，先检查有没有因数 $0$：有就直接得 $0$；所有因数都非零时，再数负因数定符号、算绝对值。

（1）$-\frac{3}{4}$；（2）$c=-1$；（3）$1$ 和 $-1$。

1. （1）带分数先化成假分数：$-1\frac{1}{3}=-\frac{4}{3}$，倒数就是分子分母交换，得 $-\frac{3}{4}$。符号不变，倒数不会把负数变成正数。
2. （2）互为倒数说明 $ab=1$。代入得 $1+c=0$，所以 $c=-1$。
3. （3）一个数的倒数若等于自己，它与自己相乘就必须得 $1$。绝对值大于 $1$ 时，平方大于 $1$；绝对值小于 $1$ 时，平方小于 $1$。所以绝对值只能等于 $1$，原数只能是 $1$ 或 $-1$，代回检查都符合。
4. 注意 $0$ 没有倒数，因为 $0$ 与任何数相乘都得 $0$，不会得 $1$。

（1）$2$；（2）$-8$；（3）不相等。

1. （1）除以 $-\frac{3}{8}$ 等于乘它的倒数 $-\frac{8}{3}$：$\left(-\frac{3}{4}\right)\times\left(-\frac{8}{3}\right)=2$。两个负号得正，$\frac{3}{4}\times\frac{8}{3}=2$。
2. （2）除以 $-\frac{1}{12}$ 等于乘 $-12$，用分配律一次乘完：$\frac{1}{2}\times(-12)=-6$，$-\frac{2}{3}\times(-12)=8$，$\frac{5}{6}\times(-12)=-10$，相加得 $-8$。
3. （3）不相等。左边要先算括号里的和：$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$，$24\div\frac{5}{6}=24\times\frac{6}{5}=\frac{144}{5}$；右边是 $48+72=120$。
4. 被除数是一个和时，各项可以除以同一个非零数，这是乘法分配律的应用。除数是一个和时，没有“逐项去除”的分配律；本题先算出整个除数，再乘它的倒数。

（1）$16$；（2）$-16$；（3）$-8$；（4）$-\frac{1}{9}$。

1. （1）底数是 $-2$，4 个 $-2$ 相乘，负因数有 4 个（偶数），结果为正，$2^4=16$。
2. （2）没有括号，底数是 $2$：先算 $2^4=16$，再取相反数，得 $-16$。这一对是本章最经典的对比。
3. （3）底数是 $-2$，指数 3 是奇数，结果为负，得 $-8$。
4. （4）括号里的 $-\frac{1}{3}$ 才是底数，平方得 $\frac{1}{9}$（偶数次幂为正）；最外面的负号再取一次相反数，得 $-\frac{1}{9}$。
5. 四小题的第一步都是同一个动作：先找底数是谁，再决定符号。

（1）$1$；（2）$-1$；（3）$0$。

1. $2n$ 一定是偶数，$2n-1$ 与 $2n+1$ 一定是奇数。而 $(-1)$ 的偶次幂是 $1$，奇次幂是 $-1$。
2. （1）$(-1)^{2n}=1$；（2）$(-1)^{2n-1}=-1$。
3. （3）$(-1)^{2n}+(-1)^{2n+1}=1+(-1)=0$，互为相反数相加得 $0$。
4. 不用管 $n$ 具体是几，只看指数的奇偶。这是“用字母表示数”和“幂的符号”结合的典型问法。

（1）$-1.28\times 10^6$；（2）$306000$；（3）$5.6\times 10^6>9.8\times 10^5$。

1. （1）$1280000$ 的整数部分有 7 位，$n=7-1=6$，写作 $1.28\times 10^6$；负号留在 $a$ 上，得 $-1.28\times 10^6$。
2. （2）$10^5$ 表示小数点向右移 5 位：$3.06\to 306000$。位数不够时用 0 补齐。
3. （3）两个数都是正数，而且系数都在 $1$ 到 $10$ 之间，所以先比指数：前一个数至少是 $10^6$，后一个数小于 $10\times 10^5=10^6$，前一个更大。还原核对：$5600000>980000$。
4. 检查写法：$a$ 必须满足 $1\le\lvert a\rvert<10$。写成 $12.8\times 10^5$ 或 $0.128\times 10^7$ 都不合格，这是本题的隐性考点。

$-10$。

1. 先算乘方。$-2^3$ 没有括号，底数是 $2$，先算 $2^3=8$ 再取相反数，得 $-8$；$(-3)^2$ 有括号，底数是 $-3$，指数是偶数，得 $9$。
2. 再从左到右算乘除：$-8\div(-4)=2$，$2\times\left(-\frac{1}{2}\right)=-1$。乘除是同级运算，不能跳过前一步先算后面的乘法。
3. 最后算减法：$-1-9=-10$。
4. 顺序一错答案就变：若先把 $\left(-\frac{1}{2}\right)$ 与 $-4$ 相乘，整题就全错了。动手前先把运算顺序标出来。

$24$。

1. 括号里通分要算三个分母的最小公倍数，直接乘更省事：$-36$ 同时是 $6$、$4$、$12$ 的倍数，正好用分配律逐项乘。
2. $-\frac{5}{6}\times(-36)=30$（负负得正）；$\frac{3}{4}\times(-36)=-27$；$-\frac{7}{12}\times(-36)=21$。
3. 相加：$30-27+21=24$。
4. 用分配律时，括号里每一项都要乘到，而且每一项都要带着自己的符号。漏掉一个负号，结果就从 $24$ 变成别的数。

$-2$ 或 $-8$。

1. 由 $\lvert a\rvert=3$ 得 $a=3$ 或 $a=-3$；由 $b^2=25$ 得 $b=5$ 或 $b=-5$。先列出四种搭配，再用 $a>b$ 筛。
2. $a=3$、$b=5$：$3>5$ 不成立；$a=3$、$b=-5$：成立，$a+b=-2$。
3. $a=-3$、$b=5$：不成立；$a=-3$、$b=-5$：成立，$a+b=-8$。
4. 所以 $a+b=-2$ 或 $-8$。本题绝对值与平方都等于正数，分别给出正负两个可能值。先列全，再按 $a>b$ 筛选；若它们等于 $0$，原数就只有 $0$。