整体思想：已知一整份，就寻找这一整份

题目

已知 $a+b=12$，求 $3a+3b+5$ 的值。

答案：41。

一句话：$3a+3b$ 正好是 3 份“$a+b$”。一份是 12，3 份是 36，再加 5。不用知道 $a$、$b$ 各是多少。

先看动画。我们把 $a$ 想成一支笔的价钱，把 $b$ 想成一个本子的价钱，“$a+b=12$”就是“一支笔配一个本子，一套 12 元”。讲解分成六小段，每段讲完会自动停下，留一个“想一想”；想好了再点“继续讲解”。听完后切到“我自己试”，换一个式子，看结果会不会跟着 $a$ 变。

下面几节是动画里讲过的内容，写成文字方便以后复查。只需要会：字母可以表示数、乘法表示几份相同的数、加法可以交换顺序。

1. 两个数都不知道，先别急着求

看到 $a$、$b$ 两个字母，很容易想：先求出 $a$，再求出 $b$。可是只有 $a+b=12$ 这一个条件，4 和 8 可以，5 和 7 可以，2.5 和 9.5 也可以。求不出来。

换个方向，先看要算的式子需要什么。$3a+3b+5$ 里，$a$ 有 3 个，$b$ 也有 3 个。

2. 一个 a 配一个 b，配成 3 份

把乘法写回加法：

$$\begin{aligned}&3a+3b\\&=(a+a+a)+(b+b+b)\end{aligned}$$

加法可以交换顺序、重新分组。让一个 $a$ 配一个 $b$：

$$\begin{aligned}&3a+3b\\&=(a+b)+(a+b)+(a+b)\end{aligned}$$

正好 3 份，没有多，也没有少。每一份都是已知的 12：

$$3a+3b+5=3(a+b)+5=3\times12+5=41$$

把 $3a+3b$ 写成 $3(a+b)$，就是把分配律倒过来用：去括号是“拆开”，这里是把拆开的东西“装回去”，装成已经知道的那一份。

3. a、b 会变，结果为什么不变

取 $a=4$、$b=8$，算出来是 41。换成 $a=5$、$b=7$，还是 41。

可是试两组不算理由。理由是第 2 节的分组：不管 $a$、$b$ 是多少，只要 $a+b$ 还是 12，3 份就还是 36。 这道题要用的是“一整份 $a+b$”，不是 $a$、$b$ 各自的值。

4. 什么时候不能这样做：配不齐

如果要算的是 $3a+2b+5$ 呢？$a$ 有 3 个，$b$ 只有 2 个。配成 2 份以后，还多出 1 个 $a$：

$$3a+2b+5=2(a+b)+a+5=29+a$$

结果跟着 $a$ 变：$a=4$ 时是 33，$a=5$ 时是 34。两组数都满足 $a+b=12$，结果却不一样。只靠 $a+b=12$，定不下来。

下次遇到“只知道一个式子的值”的题

先别急着求每个字母。先看要算的式子里，能不能配出整份的“已知”。配得正好，就把整份的数放进去；配完还有剩下的，说明条件还不够。

检查自己是否看懂

仍然只知道 $a+b=12$。

1. 求 $4a+4b-3$ 的值。
2. $2a+5b$ 的值能确定吗？先试着配成整份，看会不会剩下什么。

查看答案与理由

第 1 题：45。4 个 $a$ 配 4 个 $b$，正好 4 份：$4(a+b)-3=4\times12-3=45$。

第 2 题：不能确定。只能配成 2 份，还多出 3 个 $b$：$2a+5b=2(a+b)+3b=24+3b$，结果跟着 $b$ 变。

例如 $a=4,b=8$ 时是 48，$a=5,b=7$ 时是 45。两组都满足条件，结果却不同，说明条件不够。整体的想法仍然有用：它让我们一眼看出“还差什么”。