整体思想：已知一整份，就寻找这一整份

题目

已知 $a+b=12$，求 $3a+3b+5$ 的值。

答案：41。

所需知识：字母可以表示数，乘法表示几份相同的量，以及乘法分配律。不熟悉分配律的倒着用法，可以先跟着下面的“分组”理解。

先看目标需要什么

看到两个字母，人很容易先想“分别求出它们”。但题目给的是一份总和，所求也未必需要每个数。可以先比较已知式与所求式：已知中两个字母各出现一份，所求中它们前面都乘了三。

这个相同的三值得关注。如果能把所求中的两项重新组成几份相同的总和，已知条件就能直接用上；末尾的五先保留，最后再加。

相同的倍数怎样变成一整份？

先把乘法写成重复相加，看看能不能组成与已知完全相同的小组：

$$\begin{aligned}&3a+3b\\&=(a+a+a)+(b+b+b)\end{aligned}$$

加法允许交换顺序、改变分组。把每一份 $a$ 与一份 $b$ 放在一起，正好组成三组，没有增添或漏掉任何一项：

$$\begin{aligned}&3a+3b\\&=(a+b)+(a+b)+(a+b)\end{aligned}$$

每组都是已知的十二。因此这里不必分别求出 $a$ 和 $b$；每组的总量已经确定。

这就是把分配律倒过来用：展开能去掉括号，反向使用能把熟悉的一整份找回来。计算因此变为：

$$3(a+b)+5=3\times12+5=41$$

两个数会变，为什么结果不变？

已知总和并没有确定两个数各是多少。例如四和八是一组，五和七也是一组。它们分别代入都会得到四十一，但检验两组数还不是一般理由。

一般理由是上面的分组恒成立：不论两个数各是多少，只要总和仍是十二，三份总和就仍是三十六。我们把必须知道的信息与可以不知道的信息分开了：这道题需要总和，不需要总和内部怎样分配。

如果下一题已知的是差或乘积，也应先到目标中寻找同样的组合；不能把任意两个相邻的字母随便圈成“整体”。能直接代入的前提，是整理后出现了与已知完全相同的式子。

少一份，还能唯一确定吗？

仍只知道 $a+b=12$。现在求 $3a+2b+5$，能确定唯一数值吗？先试着配成已知的一整份，看看是否会留下没有确定的部分。

展开核对思路与答案

不能唯一确定。两个 $a$ 可以与两个 $b$ 配成两份总和，但还多出一个 $a$。所以 $3a+2b+5=2(a+b)+a+5=29+a$，仍依赖未确定的 $a$。

例如 $a=4,b=8$ 时得到 33；$a=5,b=7$ 时得到 34。两组都满足条件，结果却不同，说明信息不足。整体方法仍帮助我们判断问题，只是这次不能把剩余未知量一起消掉。