类比与迁移：认出不同故事里的同一关系

题目

停车场里只有自行车和三轮车，共 10 辆，共有 26 个车轮。每辆自行车有 2 个车轮，每辆三轮车有 3 个车轮。

1. 自行车和三轮车各有多少辆？说明你从哪些数量关系想到解法。
2. 另一个停车场只有自行车和两轮摩托车，共 10 辆，共有 20 个车轮。仅凭这些条件，能否确定两种车各有多少辆？为什么？

答案：第一个停车场有自行车 4 辆、三轮车 6 辆；第二个停车场不能唯一确定两种车的数量。

先备知识

本课会用到建模课的“总数不变、比较每份差量”，证明课的“检查前提与反例”，以及整体课的“把已知关系作为一份来用”。计算只需要四则运算和乘法分配律。

先建立对应，再借用方法

看到自行车，不必先搜记忆里有没有相同故事。可以把两题中决定计算的关系并排看：

核心关系	鸡兔问题	当前车轮问题
总个数固定	动物的总只数	车辆的总辆数
每种贡献固定	每只的脚数	每辆的轮数
换一个增加多少	$4-2=2$ 只脚	$3-2=1$ 个轮

动物和车辆不是同一种东西，但这里要算的关系能一一对应。这才是借用替换思路的理由。若只记住“鸡兔题除以 2”，换一个背景就容易把旧数字也搬过来。

从统一起点数多出的车轮

先把所有车辆都按自行车计算，是为了让每辆都贡献 2 个车轮，得到容易计算的起点：

$$10\times2=20\text{（个轮）}$$

实际多出的 6 个车轮来自三轮车。每辆三轮车比起点多 1 个轮，所以多几个轮，就对应几辆三轮车：

$$(26-20)\div(3-2)=6\text{（辆）}$$ $$\text{自行车}=10-6=4\text{（辆）}$$

检查两项条件：$4+6=10$，$4\times2+6\times3=26$。只核对总辆数不够，还要核对总轮数；每个答案都必须同时满足原题的全部条件。

故事相似，关系也可能已经不同

第二个停车场也有两类车，但两类车每辆都是 2 个轮。把一辆自行车换成一辆摩托车，轮数变化是 0。无论怎样分配 10 辆车，总轮数都是 20。

例如自行车与摩托车各 5 辆可以，自行车 4 辆、摩托车 6 辆也可以。已经找到两种不同组成满足全部条件，就足以说明答案不唯一，不必把所有组成列完。

这两组满足全部条件却不同的组成，推翻了“这些条件能确定唯一组成”的判断。旧方法失去作用，是因为每次替换没有可区分的差量。题目仍有两类车，但用于区分它们的关系已经改变。

迁移时，先问关系是否保留

真正可带走的是这条思考路线：找清总量，分清每份贡献，检查比较时哪些量不变，再决定是否能用差量求份数。只有两类、总个数固定、每类贡献固定且不同，才可以照用本课的替换计算。方法名称相同，不代表可以跳过条件检查。

自测：没有故事，也能认出整体吗

已知 $a+b=12$，求 $5a+5b$。先说需要分别求出两个字母吗，再说明这次借用的是哪条关系。

查看答案

不需要分别求字母。这次借用整体课的关系：五份 a 加五份 b，可以重组成五份“a 与 b 的和”。因此 $5a+5b=5(a+b)=5\times12=60$。关键线索是两个部分的倍数相同，能组合成已经知道的整体；这里没有两类对象每份贡献的差，不应硬套替换法。