初一数学·约 9 分钟·二维图解

类比与迁移：认出不同故事里的同一关系

把车轮题和鸡兔题一条一条对上：总数固定，每换一辆三轮车只多 1 个轮，所以换 6 辆。再看每换一辆多 0 个轮的停车场，为什么定不下来。

题目

停车场里只有自行车和三轮车，共 10 辆，共有 26 个车轮。每辆自行车有 2 个车轮，每辆三轮车有 3 个车轮。

答案：第一个停车场有自行车 4 辆、三轮车 6 辆；第二个停车场定不下来。

一句话：车轮题和鸡兔题是同一种关系——总数固定，每换一个，多出来的数量也固定。不过这里每换一辆只多 1 个轮，数字要重新算。

先看两道题怎样并排对上，再看车一辆一辆换。讲解分成六小段，每段讲完会自动停下，留一个“想一想”；想好了再点“继续讲解”。听完后切到“我自己试”，换一个停车场、换一个轮的总数，先猜能不能定下来。

下面几节是动画里讲过的内容，写成文字方便以后复查。这一课会用到三课学过的东西：建模课的“先全当成一种，再一个一个换”，证明课的“举出例子说明定不下来”，自测还会用到整体课的“把一整份一起用”。计算只要加减乘除。

动物和车不是一种东西。可是要算的关系，能一条一条对上（鸡兔题里的“脚”，这里叫“腿”）：

三条都对得上，所以鸡兔题的办法可以借来用。第三条的数不一样，所以只能借办法，不能借数字。

先假设 10 辆全是自行车。每辆都是 2 个轮，好算：

10\times2=20\text{（个轮）}

题目里有 26 个轮，还少 $26-20=6$ 个。少掉的轮，都在三轮车上。

把一辆自行车换成三轮车：车还是 10 辆，轮多了 1 个。还少 6 个轮，就要换：

(26-20)\div(3-2)=6\text{（辆）}

\text{自行车}=10-6=4\text{（辆）}

放回题目检查： $4+6=10$ ， $4\times2+6\times3=26$ 。辆数对，轮数也对。只检查辆数是不够的，两个条件都要满足。

这里也有两种车。可是自行车和摩托车，每辆都是 2 个轮。把一辆自行车换成摩托车，轮多 0 个。10 辆车不管怎么分，总数都是 20 个轮。

比如自行车、摩托车各 5 辆，可以；自行车 4 辆、摩托车 6 辆，也可以。两种分法都满足题目的全部条件，却不一样——这就说明，只靠这些条件定不下来。找到两种就够了，不用把所有分法列完。

办法在这里用不上，是因为换一辆，什么也没有多：轮的个数分不清这两种车。故事还是“两种车”，能把它们分开的关系却没有了。

三件事要同时在：总数固定；每一种带来的数量固定；而且两种带来的数量不一样。 第一个停车场三条都在；第二个停车场少了第三条。

名字一样的办法，不能跳过这一步检查。

先别问“这像哪道题”，先问：总数是什么？每一个带来多少？换一个会多多少？ 这三条和旧题对得上，办法就能借；数字一定要按新题重新算。

已知 $a+b=12$ ，求 $5a+5b$ 。先说：需要分别求出两个字母吗？这次借用的是哪一课的关系？

查看答案与理由

不需要，结果是 60。这次借的是整体课的关系：五份 $a$ 加五份 $b$ ，可以重新分成五份“ $a+b$ ”，所以 $5a+5b=5(a+b)=5\times12=60$ 。

线索是两个字母前面的倍数相同，能凑成已经知道的一整份。这里没有“两种东西、每个带来的数量不一样”，不该硬套替换的办法。