转化与构造：补一个一，让长串自己合起来

从短串总和与下一项的差发现补一，再用连续合并证明规律，并解释翻倍对齐的动机与边界。

题目

计算：

\begin{gathered}1+2+2^2+2^3+\cdots\\{}+2^{2008}-2^{2009}\end{gathered}

答案：−1。

所需知识：加法的交换与结合、两个相同的数相加等于乘二。乘方表示重复相乘，例如 $2^3=2\times2\times2=8$ ；理解主线后，拓展部分再用分配律。

直接算出很大的幂，再全部相加，工作很多。先把末尾的负项留在外面，只看正数部分：每一项都是前一项的两倍。我们需要知道整串与它的下一项相差多少，因为题目最后减的正是下一项。

长串看不清，可以保留“从一开始、连续翻倍”的结构，缩短后列表：

短串	总和	翻倍后的下一项	总和与下一项的差
1 + 2	3	4	少 1
1 + 2 + 4	7	8	少 1
1 + 2 + 4 + 8	15	16	少 1

这提示一个猜想：是不是无论写多长，总和都比下一项少一？现在要找能解释长串的动作，不能只凭三行例子宣布成立。

既然猜到只差一，就试着补一，看是否出现容易处理的关系。新补的一与原来开头的一相等，先合成二；这个二又与原来的二相等，可以继续合并：

\begin{aligned}&1+(1+2+4+8)\\&=2+2+4+8\\&=4+4+8\\&=8+8\\&=16\end{aligned}

把正数部分的总和记为 $S$ 。接力到最后，合并结果等于原来的末项 $2^{2008}$ ，再与这个末项相加，就得到下一项 $2^{2009}$ 。所以：

S+1=2^{2009},\qquad S=2^{2009}-1

回到题目，原式是 $S-2^{2009}$ ，也就是比下一项少一的数，再减去下一项，结果为负一。

还可以把整串乘二。为什么选二？因为后一项恰好是前一项的两倍，乘二会把一变成二、二变成四，让新串与旧串中间的大部分项对齐。

S=1+2+2^2+\cdots+2^{2008}

2S=2+2^2+2^3+\cdots+2^{2009}

把第二行减第一行，共同项自己减自己，只留下新串末尾与旧串开头。因此 $2S-S=2^{2009}-1$ ，左边正好是一份 $S$ 。这与连续合并描述的是同一个翻倍关系。

若正数串改为 $1+3+9+\cdots$ ，每项是前项三倍，补一个一以后还能按刚才的方法连续合并吗？不必求新公式，先检查第一步能否接上下一项。

展开核对思路与答案

不能照搬。补的一与原来的一合成二，下一项却是三，接力第一步就断了。短串也能反驳： $1+3=4$ ，补一得五，并非下一项九。

补一的连续合并依赖“从一开始、没有漏项、每次翻倍”。转化要让对象建立有用关系；改变倍数以后，应重新寻找对齐或合并的办法，不能因看到长串就机械地补一。