初一数学·约 9 分钟·二维图解

转化与构造：补一个一，让长串自己合起来

先用短串发现“和总比下一个数少 1”，再补一个 1：两个一样大的数合起来，又正好等于下一个数，像接力一样一路合到底，所以原式等于 −1。

题目

计算：

\begin{gathered}1+2+2^2+2^3+\cdots\\{}+2^{2008}-2^{2009}\end{gathered}

答案：−1。

一句话：这一长串加起来，总比“下一个数”少 1；题目最后减去的正好就是下一个数，所以得 −1。

先看动画。每个数画成一个块，块的宽度就是数的大小。讲解分成六小段，每段讲完会自动停下，留一个“想一想”；想好了再点“继续讲解”。听完后切到“我自己试”，把“每次 2 倍”换成“每次 3 倍”，看补 1 还灵不灵。

下面几节是动画里讲过的内容，写成文字方便以后复查。只需要会：乘方表示重复相乘，例如 $2^3=2\times2\times2=8$ ；两个相同的数相加，等于这个数乘 2。

先把题目末尾的“ $-2^{2009}$ ”放一放，只看前面相加的那一串。把它缩短，和“下一个数”比一比：

三次都少 1。这提示我们猜：不管这一串有多长，和总比下一个数少 1。 不过三行例子只是猜，还要找到理由。

既然只少 1，就补上一个 1 试试。补的 1 和原来开头的 1 一样大，先合成 2；这个 2 旁边正好也有一个 2，又能合起来……

\begin{aligned}&1+(1+2+4+8)\\&=2+2+4+8\\&=4+4+8\\&=8+8\\&=16\end{aligned}

每一次合出来的数，都正好等于下一个数，所以能一直合下去，像接力一样，最后只剩一个 16——它就是这一串后面的“下一个数”。

接力靠的是“每个数是前一个的 2 倍”：两个一样的数合起来，就是它的 2 倍，正好是下一个数。这一串有多长，接力就能跑多长，一直跑到只剩“下一个数”。所以：

\text{和}+1=\text{下一个数},\qquad \text{和}=\text{下一个数}-1

把前面相加的那一串记作 $S$ 。它的最后一个数是 $2^{2008}$ ，下一个数就是 $2^{2009}$ ，所以：

S=2^{2009}-1

题目最后减去的，正好就是这个下一个数：

S-2^{2009}=(2^{2009}-1)-2^{2009}=-1

学了字母以后，还可以这样写。把整串乘 2，每个数都变成它的“下一个数”：

S=1+2+2^2+\cdots+2^{2008}

2S=2+2^2+2^3+\cdots+2^{2009}

两串中间的数一模一样。用第二行减第一行，中间的全都自己减自己，只剩新串的尾巴和旧串的开头： $2S-S=2^{2009}-1$ ，左边正好是一份 $S$ 。

这和接力合并说的是同一个翻倍关系：因为每个数的 2 倍就是下一个数，乘 2 以后两串才能对齐。选“乘 2”不是背下来的招数，是这串数自己的特点决定的。

补 1 能成功，靠的是三件事：从 1 开始，一个也不漏，每次正好翻倍。

如果换成每次 3 倍： $1+3=4$ ，补 1 得 5，可下一个数是 9，对不上。原因一看就明白：补的 1 和开头的 1 合成 2，旁边却是 3，接力第一步就断了。

先看相邻两个数是什么关系。用短串试一试，得到一个猜想。再找一个能一直重复下去的动作，说明它为什么总成立。不要见到长串就补 1，要先看合出来的数能不能接上下一个。

把正数串换成 $1+3+9+\cdots$ ，每个数是前一个的 3 倍。补一个 1 以后，还能像刚才那样一路合并吗？不用求新公式，先看第一步能不能接上。

查看答案与理由

不能。补的 1 和原来的 1 合成 2，下一个数却是 3，接力第一步就断了。用短串也能看出来： $1+3=4$ ，补 1 得 5，不是下一个数 9。

补 1 的接力靠的是“从 1 开始、一个不漏、每次翻倍”。倍数变了，就要重新找能对齐或能合并的办法，不能看到长串就照搬。