化繁为简：八个人握手，先看两个人

题目

8 名同学见面，每两人之间都握手一次，不与自己握手。大家一共握手多少次？

答案：一共握手 28 次。

所需知识：加法、乘法、除法；能分清“参与的人数”和“发生的事情有几件”。不需要先学组合公式。

八个人太多，先留下同一种关系

人数多时，凭脑海中谁与谁握过手很容易漏记。先把人数缩小，不是把条件随意删掉：仍要保留“每两人一次、不与自己握手”。这样看懂的小问题才能帮助解决原题。

把同学暂记作甲、乙、丙、丁。两人时，只有甲乙这一对，共一次。加入丙后，原来的甲乙仍在，新增甲丙、乙丙，共三次。再加入丁，丁要分别与前三人握手，新增三次，总共六次。

人数	这次新加入者带来的握手	累计次数
2	1	1
3	2	3
4	3	6

值得比较的是“新来的人与多少个旧同学配成一对”，而不是急着背下 1、3、6。每增加一人，只需把他与所有原有同学配对，旧同学之间的握手不再计算。继续到八人，累计是：

$$1+2+3+4+5+6+7=28$$

怎样一次数出所有握手？

逐个添加已经能算对，但人数更大时，加法也会很长。小例子还告诉我们：一次握手连接两个人。现在换成让每人各自登记，看看这些记录与真实握手怎样对应。

每人都与另外七人握手，所以八份登记表共有 $8\times7=56$ 条记录。此时先别把记录条数当作握手次数：甲与乙的同一次握手，会出现在甲的表中，也出现在乙的表中。

$$56\div2=28$$

不会有哪次被记三遍，因为一次握手只有两名参与者；也不会只记一遍，因为双方都登记。这个理由适用于任意人数，并非只对八个人有效。它也与逐个添加得到的二十八次相符。

化简时，哪些条件不能丢？

先做小规模，是为了看清计数单位和对应关系。回到大规模后，还要说明这个关系没有改变。本题每两人恰好一次，所以可以这样计数；若有人没握手或一对人握了多次，便要重新整理实际事件。

同样八个人，还要除以二吗？

八个人互送卡片，每人给另外七人各送一张，自己不给自己送。一共送出多少张？能否照搬握手的算法？先比较“甲给乙”与“乙给甲”究竟是不是同一件事。

展开核对思路与答案

共 56 张，不除以 2。甲给乙的一张与乙给甲的一张是两张不同的卡片，方向不同就对应不同事件。按送卡人统计时，每张只记在一个人的送出记录中，没有重复。要不要除以 2，取决于一件真实事件被数了几次，与故事中是否出现“两个人”无关。