化繁为简：八个人握手，先看两个人

题目

8 名同学见面，每两人之间都握手一次，不与自己握手。大家一共握手多少次？

答案：一共握手 28 次。

一句话：让人一个一个加进来。新来的人前面有几个人，就新增几次握手，全部加起来就是答案。

先看人一个一个加进来。讲解分成六小段，每段讲完会自动停下，留一个“想一想”；想好了再点“继续讲解”。听完后切到“我自己试”，换一个人数，再把握手改成互送卡片试一试。

下面几节是动画里讲过的内容，写成文字方便以后复查。只需要会：加法、乘法、除法。不用先学排列组合的公式。

1. 先数小的：2 个人、3 个人、4 个人

按来的先后，把同学叫作第 1 个人、第 2 个人……

• 2 个人： 只有第 1 个人和第 2 个人这一次，一共 1 次。
• 第 3 个人来了： 原来那 1 次还在，不用再算。他要和前面的 2 个人各握一次，新增 2 次，一共 3 次。
• 第 4 个人来了： 他要和前面的 3 个人各握一次，新增 3 次，一共 6 次。

人数	新来的人新增几次	一共几次
2	1	1
3	2	3
4	3	6

要带走的不是 1、3、6 这几个数，而是这句话：新来的人前面有几个人，就新增几次握手。 原来的人之间握过的手，不用再算。

2. 一直加到 8 个人

第 5 个人新增 4 次，第 6 个人新增 5 次，第 7 个人新增 6 次，第 8 个人新增 7 次。把每次新增的全部加起来：

$$1+2+3+4+5+6+7=28$$

所以 8 个人一共握手 28 次。

3. 换一种算法：每个人自己登记

人再多一些，上面那串加法会很长。换个办法：让每个人自己登记“我和谁握过手”。

每个人都和另外 7 个人握手，所以每人登记 7 条。8 个人一共登记：

$$8\times7=56\text{（条）}$$

56 还不是答案。 看第 1 个人和第 2 个人的那一次握手：第 1 个人记了一条，第 2 个人也记了一条——同一次握手被记了两遍。每一次握手都是这样，恰好被记两遍。所以要除以 2：

$$56\div2=28\text{（次）}$$

和一个一个加出来的 28 次对上了。

4. 换一个人数，还能这样算吗

能。两种算法只用到题目里的一句话：每两个人恰好握手一次。 不管来了多少人，新来的人总要和前面每个人各握一次；每一次握手，也总是恰好被两个人登记。

用“人数”来说，就是：

$$\text{握手次数}=\text{人数}\times(\text{人数}-1)\div2$$

什么时候不能这样算

如果有人没握手，或者有两个人握了两次，“每两个人恰好一次”就不成立了。这时候要按实际发生的握手，重新数。

下次遇到“数量很大”的题

先把数量变小，但是题目的规矩一条也不能丢——这里是“每两人一次、不和自己握手”。在小的情形里看清“多一个，会多出什么”，再回到大的。

检查自己是否看懂

8 个人互送卡片：每人给另外 7 个人各送一张，自己不送给自己。一共送出多少张？能照搬握手的算法，也除以 2 吗？

先比一比：“第 1 个人送给第 2 个人”和“第 2 个人送给第 1 个人”，是不是同一件事？

查看答案与理由

56 张，不除以 2。第 1 个人送给第 2 个人的一张，和第 2 个人送给第 1 个人的一张，是两张不同的卡片。按送卡片的人来数，每张只记在一个人名下，没有哪一张被数了两遍。

要不要除以 2，要看同一件事是不是被数了两遍，和题目里有没有出现“两个人”无关。