演绎推理与反例：怎样判断“一定”
用成对结构解释奇数加奇数必为偶数，再用满足前提的反例推翻错误的全称判断。
题目
本题讨论的数都是正整数。判断下面两句话是否一定正确，并给出理由：
- 两个奇数相加，和一定是偶数。
- 两个质数相加，和一定是奇数。
说明：计算几个例子，能否证明一句话对所有符合条件的数都成立？
答案：第一句话正确；第二句话错误，反例是 。
先备知识
正整数可以用小圆点表示。全部两两配对、没有剩余，就是偶数；两两配对后剩一个，就是奇数。质数是大于 1、只有 1 和它本身两个正因数的整数，例如 2、3、5；1 不是质数。
观察课中，我们用具体例子发现可能的规律。这一课继续追问：猜想是“这几个例子成立”，还是“所有符合条件的情况都成立”？“一定”要求后者。
怎样从算例走到一般理由
试算 、，可以发现和都是偶数。但没算过的奇数还有很多，再多列几组，也没有解释它们为什么都这样。
现在换一个观察对象：不盯着具体数字，改看任何奇数都具有的配对结构。第一个奇数可以分成若干对和一个剩余圆点，第二个奇数也一样。把两堆合起来时，原来的每一对都完整保留，两个剩余圆点又恰好组成一对，所以最后没有单独剩下的圆点。
因此和一定是偶数。这里没有用到两个奇数究竟多大，也没要求它们不同，所以这个理由适用于本题中任意两个奇数。即使其中一个数是 1，它也只是原先没有完整的一对、剩一个圆点，合并理由仍然成立。
这种从已知的定义或性质，一步步推出必然结论的做法，叫演绎推理。决定证明是否成立的，是理由覆盖的范围，不是列了多少算例。
要推翻“一定”，先找哪里可能失效
第二句话把条件改为质数。可以先检查 ，它的和是奇数；但这只能说明这一组成立。
接着问：质数是否都像 2 一样是偶数？不是，3 和 5 都是奇质数。既然刚刚证明了两个奇数相加是偶数，就值得用这两个数检验：
3 和 5 都满足“质数”这一前提，8 却不满足“奇数”这一结论，这就是有效反例。原句说所有情况都成立，只要出现一次失败，它就不成立；不必再穷举其他质数。
注意，用 不能反驳第二句话，因为 1 不是质数。违反结论还不够，反例必须先符合题目的全部前提。
检查理由的方向
我们已经证明“两个奇数相加得到偶数”，不能随意倒过来说“和是偶数，两个数就一定是奇数”。从条件走到结论有理由，反方向也需要另外检查。
面对“一定”“所有”“任意”这样的判断，可以先用例子探索；找到反例就解释它如何满足前提，没找到则继续找一般理由。暂时找不到反例，本身也不是证明。
自测：倒过来的判断还成立吗
“两个正整数的和是偶数，这两个数一定都是奇数。”这句话对吗？给出能决定判断的理由，并明确检查前提。
查看答案
不对。例如 ：2 和 4 都是正整数，和 6 是偶数，满足前提；但两个加数都是偶数，不满足“都是奇数”。一个有效反例就能推翻这个判断。原来的奇数加奇数结论仍然正确，只是不能直接把它倒过来用。