演绎推理与反例：怎样判断“一定”

题目

本题讨论的数都是正整数。判断下面两句话是否一定正确，并给出理由：

1. 两个奇数相加，和一定是偶数。
2. 两个质数相加，和一定是奇数。

说明：计算几个例子，能否证明一句话对所有符合条件的数都成立？

答案：第一句话正确；第二句话错误，反例是 $3+5=8$。

一句话：要说“一定对”，得有一个管住所有情况的理由；要说“不一定对”，找到一个反例就够了。

先看圆点怎样配对。讲解分成六小段，每段讲完会自动停下，留一个“想一想”；想好了再点“继续讲解”。听完后切到“我自己试”，换两个数，再试着自己找第二句话的反例。

下面几节是动画里讲过的内容，写成文字方便以后复查。

1. 先认识三个词

• 偶数： 把它画成圆点，两个两个配对，一个也不剩。比如 6 是 3 对，不剩。
• 奇数： 配完对，恰好剩 1 个。比如 7 是 3 对，剩 1 个。
• 质数： 比 1 大，而且只能被 1 和它自己整除的数，比如 2、3、5、7。1 不是质数。

2. 试几个例子，够不够

$$3+5=8,\qquad 7+5=12,\qquad 9+3=12$$

和都是偶数。可是奇数有无数个，再试一百组，也还有没试过的。例子只能让我们猜“好像是这样”，不能保证“一定是这样”。

3. 第一句话：为什么“一定”是偶数

看 7 和 5：

1. 7 个点配成 3 对，剩 1 个；5 个点配成 2 对，也剩 1 个。
2. 把两堆点合在一起。原来配好的 5 对，一对也没有拆开。
3. 两个剩下的点，正好配成新的 1 对。
4. 现在一共 6 对，一个也不剩，所以 12 是偶数。

这四步里，没有哪一步用到 7 和 5 到底有多大。换成别的两个奇数，也是各剩 1 个点，这两个点照样配成一对。所以：

两个奇数相加，和一定是偶数。 第一句话正确。

像这样，从“奇数就是配完对剩 1 个”出发，一步一步推出必然的结果，叫作演绎推理。

4. 第二句话：一个反例就够了

先试一个：$2+3=5$，是奇数，好像是对的。可是只试了一组，不能说“一定”。

再想一想：质数里只有 2 是偶数，别的质数都是奇数，比如 3 和 5。第 3 节刚说清楚：两个奇数相加，和是偶数。那么：

$$3+5=8$$

• 3 和 5 都是质数，符合这句话的条件；
• 可是和是 8，是偶数，结论不成立。

只要有一个这样的例子，这句话就不能说“一定”了。这样的例子叫作反例。第二句话错误。

什么时候不能这样用

第 3 节证明的是“两个奇数相加，和是偶数”。不能把它倒过来用，说成“和是偶数，两个数就一定都是奇数”。反过来的话对不对，要另外检查（见下面的自测）。

下次看到“一定”“所有”“任意”

先用几个例子试一试。找到了反例，就说明它不一定对——别忘了检查反例符不符合条件。一直找不到反例，也不能算证明，要去找一个管住所有情况的理由。

检查自己是否看懂

“两个正整数的和是偶数，这两个数一定都是奇数。”这句话对吗？说出你的理由。

查看答案与理由

不对。反例：$2+4=6$。2 和 4 都是正整数，和 6 是偶数，符合条件；可是 2 和 4 都是偶数，不是奇数，结论不成立。

用圆点看也一样：2 和 4 配完对都不剩，合起来当然也不剩。“奇数 + 奇数 = 偶数”是对的，只是不能把它倒过来用。