观察比较与归纳：多一张桌子，多几个座位？

从少量桌子的座位数发现变化，再用接触边的关系证明一般规律，区分猜想与理由。

题目

把同样大的正方形桌子沿一条直线紧靠着拼成一排，相邻两张桌子恰好有一整条边重合。每条外露的桌边可以坐 1 人，接触处的两条桌边都不能坐人。

8 张桌子最多可以坐多少人？如果有 $n$ 张桌子（ $n$ 是正整数），人数与桌子张数有什么关系？请说明理由。

答案：8 张桌子坐 18 人；一般可坐 $2n+2$ 人。

所需知识：正方形有四条边，加减乘法，以及用字母表示数量。这里数的是题目规定的座位，不考虑现实中桌边能挤下多少人。

一下画八张桌子，容易漏数接触处。可以先只画一张，再往同一端添一张：这样每次只改一个条件，便于看清人数为何变化。画图时，把能坐人的边做记号，不要给内部的接触边做记号。

可以先停下来想：新桌子明明有四条边，为何总人数只增加二？重点看它与旧桌子相碰的位置。新桌子有一边不能坐人，只带来三个座位；旧桌子原来朝外的一边也被挡住，减少一个座位。因此净增加的是三减一。

表格让人猜到“每次增加二”，但四个例子不能替以后所有情况作保证。一般理由来自摆法：沿同一端接上新桌子时，每次都恰好形成一个新接触处，因此上面的增减过程可以一直重复。

第一张有四个座位，接下来添加的桌子有 $n-1$ 张，而不是 $n$ 张。于是：

4+2(n-1)=2n+2

代入八张，得到 $2\times8+2=18$ 人。再用一张桌子检查，公式给出四人，也保留了起点。

还有一个从整排检查的办法：先把所有桌子看成分开的，共有 $4n$ 个座位；直排有 $n-1$ 个接触处，每处取消两个座位。因此 $4n-2(n-1)=2n+2$ ，与逐张增加相符。

“观察、比较、归纳”在这里是先把规模缩小，找相邻变化，再解释造成变化的结构。若改成两排或形成额外接触，座位数就不能直接照套；要重新数接触处。规律依赖的是接触关系，并非“凡是桌子都用这个公式”。

用 6 块同样大的正方形纸片拼一条折弯的、不闭合的路径。每块新纸片只与上一块重合一整条边，纸片互不重叠，不相邻的纸片之间没有边接触。在所有没有共用的边上铺火柴，每根恰好盖一条纸片边，需要几根？先说明折弯有没有改变决定数量的关系。

展开核对思路与答案

需要 14 根。虽然外形折弯，仍只有 5 个共边处；每个共边处的两条边都不用铺火柴。因此所需根数是 $4\times6-2\times5=14$ 。故事从座位变为火柴，保留下来的是“每个接触处消去两条需要计数的边”。若另有边接触，必须再扣除。