初一数学·约 8 分钟·二维图解

观察比较与归纳：多一张桌子，多几个座位？

先只看一张桌子，再一张一张拼上去：每拼一张多 3 个座位、又少 1 个，所以只多 2 个。看懂“为什么每次都这样”，才算找到规律。

题目

把同样大的正方形桌子沿一条直线紧靠着拼成一排，相邻两张桌子恰好有一整条边重合。每条外露的桌边可以坐 1 人，接触处的两条桌边都不能坐人。

8 张桌子最多可以坐多少人？如果有 $n$ 张桌子（ $n$ 是正整数），人数与桌子张数有什么关系？请说明理由。

答案：8 张桌子坐 18 人； $n$ 张桌子坐 $2n+2$ 人。

一句话：每拼上一张桌子，多 3 个座位，又少 1 个座位，所以只多 2 个。

先看桌子一张一张拼起来。讲解分成六小段，每段讲完会自动停下，留一个“想一想”；想好了再点“继续讲解”。听完后切到“我自己试”，换一个张数，先猜再核对。

下面几节是动画里讲过的内容，写成文字方便以后复查。只需要会：正方形有四条边、加减乘法、用字母表示数。

一下子画八张桌子，容易漏掉碰在一起的地方。先画一张，再往同一头添一张。画的时候，给能坐人的边做记号，碰在一起的边不做记号。

每次都多 2。可是新桌子明明有 4 条边，为什么不是多 4？

新桌子推过来，和旧桌子碰在一起（题目里叫“接触处”）。这时有两件事同时发生：

多 3 个，少 1 个，合起来只多 $3-1=2$ 个。

表格只有四行。后面第五张、第一百张，也一定多 2 吗？光看数字，还不能保证。

要看拼法：沿着同一头往下接，每接一张，恰好多出一个碰在一起的地方。刚才那笔“多 3、少 1”的账，每次都原样再发生一遍。所以每次都多 2。

第一张有 4 个座位。后面还有 $8-1=7$ 张，每张多 2 个：

4+2\times7=18

换成 $n$ 张桌子：第一张已经单独算过，后面还有 $n-1$ 张，所以

4+2(n-1)=2n+2

用 $n=1$ 检查： $2\times1+2=4$ ，正好是一张桌子的 4 个座位。

先假设 $n$ 张桌子都分开放，一共 $4n$ 个座位。拼成一排以后，碰在一起的地方有 $n-1$ 个；每个地方挡掉 2 个座位（两张桌子各 1 个）：

4n-2(n-1)=2n+2

8 张桌子： $32-14=18$ 。两种算法对上了。

这个规律靠的是一件事：每接一张，只多一个碰在一起的地方。 如果桌子拼成两排，或者围成一圈，碰在一起的地方就变多了，算式也要跟着变。先数清碰在一起的地方，再决定怎么算。

数量太大时，先从 1 个开始，一次只加 1 个。不只看数字怎么变，还要找到是什么让它这样变——找到了，规律才站得住。

用 6 张同样大的正方形纸片，一张接一张，拼成一条会拐弯的路（不围成圈）。每张新纸片只和上一张共用一整条边，其他地方都不碰。在所有没有共用的边上各放 1 根火柴，一共要几根？

先想一想：拐弯会不会改变“碰在一起的地方”的个数？

查看答案与理由

14 根。拐不拐弯，碰在一起的地方都是 $6-1=5$ 个。每个地方有两条边不放火柴，所以是 $4\times6-2\times5=14$ 。

座位换成了火柴，外形也弯了，可是“每个碰在一起的地方，去掉 2 条边”没有变。如果还有纸片在别的地方也碰到了，就要再去掉。