建模与方程：把鸡兔的关系写出来

题目

鸡和兔共 10 只，共有 28 只脚。每只鸡有 2 只脚，每只兔有 4 只脚。

鸡和兔各有多少只？先用你熟悉的算术说明理由，再试着用一个字母记录同一数量关系。

答案：鸡 6 只，兔 4 只。

先备知识

会用“每只的脚数乘只数”求脚数，会用减法找相差多少、除法求有几份就能开始。后面的字母只是暂时记住一个还不知道的数；不用先会解方程。

为什么先假设全部是鸡

两种动物混在一起时，每只的脚数不一样，难以直接乘。先把每只都按鸡计算，就有了统一的起点：

$$10\times2=20\text{（只脚）}$$

这不是说笼子里真的全是鸡，而是为比较建立一笔容易算的账。实际比这笔账多：

$$28-20=8\text{（只脚）}$$

每只兔原先只记了 2 只脚，还少记 2 只。补记一只兔，多 2；补记两只兔，多 4；要补齐 8，就需要四份 2。因此：

$$\text{兔}=8\div(4-2)=4\text{（只）}$$ $$\text{鸡}=10-4=6\text{（只）}$$

这里除以 2，是因为它是每只兔比统一起点多出的脚数。不能除以兔本身的 4 只脚，因为起点里已经为它记过 2 只了。

用字母记录，关系没有改变

现在试着把还没求出兔数时的思考写下来。用 $x$ 表示兔的只数，那么鸡的只数是 $10-x$，不是另一个随意选择的数；两种动物加起来必须保持 10 只。

记录对象	只数	对应的脚数
兔	$x$	$4x$
鸡	$10-x$	$2(10-x)$

两部分脚数合起来等于实际脚数，就得到：

$$4x+2(10-x)=28$$

这样的含未知数的等式叫方程。它把“兔脚数加鸡脚数等于总脚数”写得更紧凑。也可以按刚才的算术想法记录为：

$$20+2x=28$$

两式记录同一件事：前式分别数两种动物的脚，后式数统一起点和补记的脚。不必为了使用方程而放弃已经理解的算术方法。

建模后还要回到原题

把答案放回去：$6+4=10$，$6\times2+4\times4=28$，两个条件都满足。

“建模”就是选定要记录的量，把实际条件对应成可以推算的关系，再检查结果是否符合实际。本题只数必须是非负整数。替换法还要求总只数固定、每类脚数固定，而且两类脚数不同；缺少这些条件，就不能直接照用这笔差量账。

自测：哪条条件让方法失去作用

如果换成鸡和鸭，共 10 只、20 只脚，两种动物每只都有 2 只脚，还能用脚数确定各有几只吗？先解释替换时会发生什么。

查看答案

不能。把一只鸡换成一只鸭，脚数增加 0，总脚数始终是 20。鸡鸭各 5 只可以，鸡 6 只、鸭 4 只也可以。脚数已经不能区分两种组成，必须再给能区分鸡鸭的新条件。这里不是计算困难，而是信息不足以确定唯一答案。