建模与方程：把鸡兔的关系写出来

题目

鸡和兔共 10 只，共有 28 只脚。每只鸡有 2 只脚，每只兔有 4 只脚。

鸡和兔各有多少只？先用你熟悉的算术说明理由，再试着用一个字母记录同一数量关系。

答案：鸡 6 只，兔 4 只。

一句话：先假设 10 只全是鸡，腿只有 20 条；每把一只鸡换回兔，多 2 条腿，还少的 8 条腿要换 4 只。

题目里说的“脚”，下面和动画里都叫“腿”：鸡 2 条腿，兔 4 条腿。

先看笼子里的动物一只一只换回兔。讲解分成六小段，每段讲完会自动停下，留一个“想一想”；想好了再点“继续讲解”。听完后切到“我自己试”，换一个腿的总数，或者把兔换成鸭，先猜再核对。

下面几节是动画里讲过的内容，写成文字方便以后复查。只需要会：用乘法求总数、用减法找还少多少、用除法求有几份。后面的字母只是暂时记住一个还不知道的数，不用先会解方程。

1. 先全部当成鸡：有了算得出来的起点

两种动物混在一起，每只的腿不一样多，不好直接算。先假设 10 只全是鸡：

$$10\times2=20\text{（条腿）}$$

这不是说笼子里真的全是鸡。这只是先记一笔好算的账，再看它和题目差多少。

2. 还少 8 条腿：它们都在兔身上

$$28-20=8\text{（条腿）}$$

为什么会少？因为一只兔有 4 条腿，刚才却只给它算了 2 条。少掉的腿，全是兔的。

3. 每换一只，多 2 条腿

把一只鸡换回兔：动物还是 10 只，腿多了 $4-2=2$ 条。一只一只换下去：

换几只	腿的总数	多了
0	20	—
1	22	2
2	24	2
3	26	2
4	28	2

换到第 4 只，正好是 28 条腿。不用一只一只试也能算：还少 8 条，每换一只补 2 条，所以要换

$$\text{兔}=8\div(4-2)=4\text{（只）}$$ $$\text{鸡}=10-4=6\text{（只）}$$

4. 放回题目检查

$$6+4=10$$ $$6\times2+4\times4=12+16=28$$

只数对，腿数也对。两个条件都满足，才算对。

5. 用一个字母记下同一件事

兔有几只还不知道，先用 $x$ 表示。那么鸡就是 $10-x$ 只——两种动物加起来必须是 10 只，鸡的只数不能另外随便取。

动物	只数	腿数
兔	$x$	$4x$
鸡	$10-x$	$2(10-x)$

两种动物的腿合起来等于 28：

$$4x+2(10-x)=28$$

这样带着未知数的等式，叫作方程。按刚才“先全当成鸡，再补腿”的想法，也可以记成：

$$20+2x=28$$

两个式子记的是同一件事。前一个分别数两种动物的腿；后一个先数起点的 20 条，再加上每只兔补上的 2 条。学了方程，也不用丢掉已经想明白的算术办法。

什么时候不能这样换

替换法要三件事都在：总只数固定；每种动物的腿数固定；两种动物的腿不一样多。 少一件，这笔账就算不下去。

答案还要讲得通：只数不能是负数，也不能是半只。比如腿一共 27 条，还少 $27-20=7$ 条，7 里没有整数个 2——这样的笼子不存在。

下次遇到这类题

看到“两种东西混在一起，总个数知道，总数量也知道”，可以这样想：先全部当成一种 → 算出还少多少 → 每换一个多多少 → 少的里面有几份。 最后放回题目，两个条件都检查一遍。

检查自己是否看懂

如果换成鸡和鸭，共 10 只、20 条腿，每只都是 2 条腿。还能用腿数算出各有几只吗？

先想一想：把一只鸡换成一只鸭，腿会多几条？

查看答案与理由

不能。把一只鸡换成一只鸭，腿多 0 条，怎么换总数都是 20。鸡鸭各 5 只可以，鸡 6 只、鸭 4 只也可以。

这不是算不出来，而是只知道这些，还定不下来。要再给一个能分清鸡和鸭的条件，才有唯一的答案。