守恒：倒水过程在变，什么没有变

题目

A 杯中有 500 mL 水，B 杯中有 300 mL 水。把水在两杯之间来回倒，整个过程中没有添加水，也没有水洒出或其他损失。最后两杯的水量相同，每杯各有多少毫升水？

答案：最后每杯各有 400 mL 水。

先准备两个关系

这题只需要加减法和平均分：把两部分合起来，用加法求总量；把一个总量分成相等的两份，每份就是总量除以 2。“两杯一样多”说的是最终如何分配，还不能单独告诉我们各有多少。要算出一份，先要知道两份合计多少。

从变化中寻找没有变的量

倒水可能反复进行，每杯的水量都在变。若逐次计算，就需要每次倒了多少；题目没有提供这些数字。此时值得追问的是：求最后的水量，真的需要知道每一次倒水吗？

观察一次倒水的两端：一杯减少的水，恰好进入另一杯。比如从 A 杯倒出 60 mL 给 B 杯，A 少了 60 mL，B 同时多了 60 mL。两杯合起来看，只是水换了位置。

60 mL 只是帮助看清关系的例子。无论一次倒多少、向哪边倒，转出量和转入量始终相等，所以对总量的减少和增加恰好抵消。每一次都不改变总量，连续倒许多次也不改变总量。这个理由说明了一般情况，并不依赖某次恰好倒了 60 mL。

用总量连接起点和终点

起初的总水量是：

$$500+300=800\text{ mL}$$

因此最后两杯合计仍是 800 mL。最后相等，就相当于把这 800 mL 平均分给两杯：

$$800\div2=400\text{ mL}$$

反过来检查：两杯各 400 mL，既满足水量相等，合计又是 800 mL，与原来的总量一致。两条条件都满足。

怎样认出可以用守恒的题

这里的“守恒”，就是某个量在允许的变化中保持不变。遇到物品搬运、钱在几个人之间转交等问题，可以先划定要合起来看的范围，再检查：是否只是内部转移，有没有从外面加入或向外面减少？

不能因为出现“来回移动”就认定总量不变。 还要说明每次变化为什么不增不减。而且，总量已知也不意味着各部分一定相等；本题能除以 2，是因为另有“最后两杯一样多”的条件。

自测：改变一个关键条件

仍从原题的两杯水开始，但来回倒水时总计洒出 40 mL 水，没有添加水。最后两杯水量相同，每杯各有多少？先说明：原题中哪条关系需要修改，再计算。

查看答案与理由

每杯各有 380 mL。洒出的水离开了两杯这个整体，因此两杯总量不再保持原来的 800 mL。先扣掉确定损失的总量，再把剩下的水平均分成两份。

$(500+300-40)\div2=380\text{ mL}$

检查：两杯剩下的水加上洒出的水，$380+380+40=800\text{ mL}$。仍能用总量关系，但必须先根据变化后的条件确定剩余总量，不能直接沿用原题的 800 除以 2。