守恒：倒水过程在变，什么没有变

题目

A 杯中有 500 mL 水，B 杯中有 300 mL 水。把水在两杯之间来回倒，整个过程中没有添加水，也没有水洒出或其他损失。最后两杯的水量相同，每杯各有多少毫升水？

答案：最后每杯各有 400 mL 水。

一句话：水倒来倒去，每一杯都在变，可是两杯合起来一直是 800 mL。

先看水倒来倒去的样子。讲解分成六小段，每段讲完会自动停下，留一个“想一想”；想好了再点“继续讲解”。听完后切到“我自己试”，自己倒一倒、洒一洒，看合起来的水什么时候变、什么时候不变。

下面几节是动画里讲过的内容，写成文字方便以后复查。只需要会：加法、减法，和把一个数平均分成两份。

1. 倒一次水，看两个杯子

题目没有告诉我们每次倒多少。我们自己挑一个数试试：从 A 杯倒 60 mL 到 B 杯。

• A 杯少了 60 mL，变成 440 mL；
• B 杯正好多了 60 mL，变成 360 mL。

把两杯合起来看：原来是 $500+300=800$，现在是 $440+360=800$。水只是换了地方，合起来一点没变。

2. 再倒多少次，合起来也不变

60 mL 只是我们挑的一个数。换成别的数，道理一样：倒出多少，就倒进多少。 一杯少掉的，正好是另一杯多出来的，一少一多抵消了。

倒一次，合起来的水不变；接着再倒一次，还是不变。所以不管来回倒多少次、每次倒多少，两杯合起来一直是 800 mL。

这里能这样说，靠的是题目里的一句话：没有添加水，也没有水洒出。 水没有从外面进来，也没有跑到外面去。

3. 先求不变的总量，再平分

既然中间怎么倒都不影响总量，就只看开始：

$$500+300=800\text{ mL}$$

到最后，两杯合起来还是 800 mL。题目又说最后两杯一样多，就是把 800 mL 平均分成两份：

$$800\div2=400\text{ mL}$$

4. 检查两个条件

• 两杯都是 400 mL，一样多，对；
• $400+400=800$，和开始的水一样多，也对。

两个条件都满足，所以每杯 400 mL。

什么时候不能直接这样做

“合起来不变”不是看到“倒来倒去”就能用的，要先检查：水有没有从外面加进来？有没有跑到外面去？

比如倒水的时候洒了一些，洒掉的水离开了两个杯子，两杯合起来就变少了。这时要先算出还剩多少，再去平分（下面的自测就是这种情况）。

下次遇到“变来变去”的题

东西在几个地方之间搬来搬去：水在杯子之间倒，钱在几个人之间转，卡片在同学之间交换。先圈出要合起来看的范围，再问一句：有没有从外面进来的，有没有跑到外面去的？ 都没有，合起来的数就不变，可以先求它。

检查自己是否看懂

还是原来的两杯水：A 杯 500 mL，B 杯 300 mL。这次来回倒水的时候，一共洒出了 40 mL，没有添加水。最后两杯一样多，每杯各有多少？

先说一说：原来的哪一句话不能照用了？再计算。

查看答案与理由

每杯 380 mL。洒出的水离开了两个杯子，所以“两杯合起来一直是 800 mL”不能照用了。先从总量里去掉洒出的，再把剩下的平均分成两份：

$(500+300-40)\div2=380\text{ mL}$

检查：两杯剩下的水加上洒出的水，$380+380+40=800\text{ mL}$，正好是开始的总量。方法还是“先找总量，再平分”，只是总量要按新的条件重新算，不能直接用 800 除以 2。