对应与函数思想入门：起点加上每份变化

题目

一个空瓶的质量是 80 克，每往瓶中装入 1 杯水，总质量就增加 200 克。每杯水一样多，装水时没有洒出，瓶子至少能装下 3 杯水。本题只记录装入整杯水的情况。

1. 用表格记录装入 0、1、2、3 杯水时，瓶与水的总质量。
2. 装入 3 杯水后，总质量是多少克？总质量为 680 克时，装入了几杯水？
3. 能否用一句话或一个含字母的算式，表示杯数与总质量之间的对应关系？

答案：装入 3 杯水后共 680 克；总质量 680 克对应 3 杯水。

先备知识

会加减乘除、会读表格就能开始。这里先研究“一个量确定后，另一个量怎样跟着确定”，这是以后学习函数的基础；不要求先掌握函数的正式定义。

从零杯开始，表格才不会漏掉起点

如果只盯着每杯 200 克，容易把一杯时的总质量写成 200 克。先填零杯这一行，是为了提醒自己：没有水，瓶子仍有质量。

装入水的杯数	水的质量（克）	瓶与水的总质量（克）
0	0	80
1	200	280
2	400	480
3	600	680

比较总质量一列，相邻两行都增加 200 克。这个规律并非只靠四行数猜出来：每次装入的水一样多，瓶子没有换，水也没有洒出，所以每次增加量相同。

三杯水就是三份 200 克，再加空瓶的质量：

$$80+200\times3=680\text{（克）}$$

把任意一行写成一句话

只要知道杯数，就能先求水的质量，再求总质量。用 $n$ 记装入水的杯数，这句话可简写为：

$$\text{总质量（克）}=80+200n$$

字母并没有增加新规则，只是代替表格第一列中的杯数。这里 $n$ 取瓶子能装下的非负整数，0 也包括在内；题目保证能装下至少 3 杯，却没保证能装下任意多杯。超出容量时，原来的条件就不再适用。

同一杯数按这条规则只有一个总质量。在这些允许的杯数中，每增加一杯，总质量就严格增加 200 克，因此也能从总质量倒找杯数。

倒着找时，先去掉哪一部分

680 克里不仅有水，还包含空瓶。要知道有几份 200 克，先留下水的质量：

$$(680-80)\div200=3\text{（杯）}$$

减 80 的动机是去掉不随杯数变化的起点。直接用总质量除以 200，会把瓶子的质量也当成水。最后代回三杯的算式，正好得到 680 克，正反方向一致。

每份增加相同，不等于总量成正比

一杯变两杯，杯数翻倍，但总质量从 280 变成 480 克，并没有变成 560 克。水的质量随杯数翻倍，固定的空瓶质量只加一次。所以本题总质量不与杯数成正比；“每增加一杯多 200 克”和“杯数翻倍总质量也翻倍”是不同的关系。

自测：换一个瓶子后，什么变、什么不变

把空瓶换成 120 克、同样至少能装 3 杯水的瓶子，每杯水仍是 200 克。装 3 杯后共多重？从零杯到三杯增加的质量，是否也跟着改变？说明理由。

查看答案

总质量是 $120+200\times3=720$ 克；从零杯到三杯仍增加 600 克。换瓶只改变起点，没有改变每杯水的质量。相同杯数时，新瓶的总质量总比旧瓶多 40 克，但每增加一杯，两种瓶子的总质量都增加 200 克。