对应与函数思想入门：起点加上每份变化

题目

一个空瓶的质量是 80 克，每往瓶中装入 1 杯水，总质量就增加 200 克。每杯水一样多，装水时没有洒出，瓶子至少能装下 3 杯水。本题只记录装入整杯水的情况。

1. 用表格记录装入 0、1、2、3 杯水时，瓶与水的总质量。
2. 装入 3 杯水后，总质量是多少克？总质量为 680 克时，装入了几杯水？
3. 能否用一句话或一个含字母的算式，表示杯数与总质量之间的对应关系？

答案：装入 3 杯水后共 680 克；总质量 680 克对应 3 杯水；总质量 = $80+200n$ 克（$n$ 是杯数）。

一句话：秤上的读数 = 瓶子的 80 克（只算一次）+ 每杯 200 克 × 杯数。

先看瓶子放到秤上、水一杯一杯装进去。讲解分成五小段，每段讲完会自动停下，留一个“想一想”；想好了再点“继续讲解”。听完后切到“我自己试”，换一换杯数和瓶子。

下面几节是动画里讲过的内容，写成文字方便以后复查。只需要会：加减乘除和看表格。这是以后学“函数”的第一步，现在不用知道函数的定义。

1. 表格从 0 杯开始记

如果只盯着“每杯 200 克”，很容易把装 1 杯时的总质量写成 200 克。先记 0 杯这一行，提醒自己：没有水，瓶子也有 80 克。

装入的杯数	水的质量（克）	瓶与水的总质量（克）
0	0	80
1	200	280
2	400	480
3	600	680

装 3 杯水，就是 3 份 200 克，再加上瓶子：

$$80+200\times3=680\text{（克）}$$

2. 为什么每次都正好多 200 克

看总质量那一列：80、280、480、680，相邻两行都差 200。

这不是只靠四行数字猜出来的。题目说了：每杯水一样多，装的时候没有洒，瓶子也没有换。 所以每多一杯，多出来的只有那一杯水的 200 克。

3. 把每一行写成同一个算式

每一行都是同一种算法：先算水的质量，再加上瓶子。用 $n$ 表示杯数：

$$\text{总质量（克）}=80+200n$$

字母没有带来新规则，它只是代替表格第一列的杯数。这里 $n$ 只能取 0、1、2、3：题目只记整杯，也只保证瓶子装得下 3 杯。

杯数定了，总质量就定了；反过来，总质量定了，杯数也定了。 因为每多一杯，总质量都会变大，不会有两个杯数对着同一个总质量。

4. 倒着找杯数：先拿走瓶子

680 克里，不全是水。先拿走瓶子的 80 克，剩下的才是水；再看里面有几个 200 克：

$$(680-80)\div200=600\div200=3\text{（杯）}$$

检查：3 杯水正着算，$80+200\times3=680$，对上了。

5. “每次多的一样”，不等于“杯数翻倍、总质量也翻倍”

装 1 杯是 280 克，装 2 杯是 480 克，不是 $280\times2=560$ 克。

杯数翻倍，翻倍的只有水：200 克变成 400 克。瓶子的 80 克只算一次，不会跟着翻倍。560 比 480 多出来的 80 克，正好是多算的那一个瓶子。

所以这道题里，总质量和杯数不成正比。“每多一杯就多 200 克”和“杯数翻倍、总质量也翻倍”是两回事。

什么时候不能直接这样做

这个算式靠的是三件事：每杯水一样多、没有洒、瓶子没换。哪一件变了，算式就要跟着变。

还有一件：不能超出瓶子装得下的杯数。 题目只保证装得下 3 杯，第 100 杯装不进去，就不能用这个算式去算 100 杯时的总质量。

下次遇到“一个量跟着另一个量变”的题

先找两样东西：起点（另一个量是 0 的时候是多少）和每份变化（每多 1 份，多多少）。正着算：起点 + 每份变化 × 份数。倒着找：先减起点，再除以每份变化。

检查自己是否看懂

把空瓶换成 120 克的瓶子，它同样至少装得下 3 杯水，每杯水还是 200 克。装 3 杯后总质量是多少？从 0 杯到 3 杯，增加的质量会不会跟着变？说说理由。

查看答案与理由

总质量是 720 克；从 0 杯到 3 杯还是增加 600 克，没有变。$120+200\times3=720$。

换瓶子只改变起点，没有改变每杯水的质量。杯数相同的时候，新瓶的总质量总比旧瓶多 40 克；但是每多一杯，两种瓶子都是多 200 克。