分类讨论：怎样数才不漏、不重

题目

用 0、1、2、3 这四个数字组成两位偶数，每个数中的数字不重复。一共能组成多少个不同的两位偶数？

答案：共 5 个，分别是 10、20、30、12、32。

先备知识

两位数由十位和个位组成，十位不能是 0；例如写成“02”，表示的仍是 2，不是两位数。偶数的个位只能是 0、2、4、6、8。“数字不重复”表示同一个数的十位和个位不能相同，并不是说某个数字用过一次，就不能再出现在另一个数中。

从哪个位置开始，才能有序地数

目标是数出所有符合条件的数。随意写几个容易漏掉，也很难说明已经写全。先比较两个位置受到的限制：十位要避开 0；个位还要决定整个数是不是偶数。在给定数字中，能放在偶数个位上的只有 0 和 2。因此先固定个位，就把许多零散尝试变成了两组明确的任务。

每一类都重新检查条件

个位是 0。 十位可以是 1、2、3，得到 10、20、30，共 3 个。这里十位既没有用 0，也没有与个位重复，三种选择全部合格。

个位是 2。 十位不能是 0，因为要组成两位数；也不能是 2，因为同一个数中的数字不能重复。于是只剩 1、3，得到 12、32，共 2 个。

两类的个数相加：

$$3+2=5\text{（个）}$$

不能因为“个位有两种选择”，就认定每种个位都配三个十位。个位为 0 时，已经用掉的 0 本来就不能做十位；个位为 2 时，用掉的 2 却要从可用十位中额外排除。因此两类的数量不同，必须按各自的条件数。

分类什么时候可以相加

计数后要做两个检查。第一，有没有漏掉一类？ 本题的合格个位只有 0 和 2，已经全部覆盖。第二，同一个对象会不会被算两次？ 一个数只有一个个位，所以不可能同时进入两组。这两条理由比“我又数了一遍”更能说明方法可靠。

如果按“含有 1”和“含有 2”分组，12 就会进入两组，30 又不在任何一组，直接相加便会出错。分类标准可以改变，但要相加，必须保证全部对象都被覆盖，而且各类互不重叠。

自测：允许重复以后，哪里要改

仍用这四个数字组成两位偶数，现在允许同一个数的数字重复。请先说明原来的分类是否还能使用，再求个数，并解释新增的数为什么合格。

查看答案与理由

仍可按个位是 0 或 2 分类：偶数的要求没变，两个类别仍然完整、互不重叠。个位是 0 时，十位仍只能是 1、2、3；允许重复并不能让 00 变成两位数。

个位是 2 时，十位现在也可以是 2，得到 12、22、32。总共 $3+3=6\text{（个）}$。新增的是 22。改变的是每类内部的合法选择，分类依据与“十位不能为 0”的条件仍然有效。