分类讨论：怎样数才不漏、不重

题目

用 0、1、2、3 这四个数字组成两位偶数，每个数中的数字不重复。一共能组成多少个不同的两位偶数？

答案：一共 5 个，分别是 10、20、30、12、32。

一句话：偶数看个位，所以先把个位定下来，分成两组；每一组里一个一个试十位，最后把两组的个数加起来。

先看分类怎样一步一步做出来。讲解分成五小段，每段讲完会自动停下，留一个“想一想”；想好了再点“继续讲解”。听完后切到“我自己试”，换几个数字，或者允许数字重复，先猜再核对。

下面几节是动画里讲过的内容，写成文字方便以后复查。

1. 先弄清三条规矩

• 两位数： 十位不能是 0。写成“02”，它还是 2，不是两位数。
• 偶数： 个位只能是 0、2、4、6、8。
• 数字不重复： 同一个数里，十位和个位不能一样。比如 22 不行。用过 1 组成了 10，再用 1 组成 12，是可以的。

2. 先定个位：只能是 0、2

十位要躲开 0；个位还决定这个数是不是偶数，限制最多。所以从个位开始。

我们手里只有 0、1、2、3 这四个数字，能放在偶数个位上的只有 0、2。于是分成两组：个位是 0 的一组，个位是 2 的一组。

3. 每一组里，一个一个试十位

个位是 0：

• 十位放 0：写出来是 00，不是两位数，不行。
• 十位放 1：得到 10。
• 十位放 2：得到 20。
• 十位放 3：得到 30。

这一组有 3 个：10、20、30。

个位是 2：

• 十位放 0：写出来是 02，就是 2，不是两位数，不行。
• 十位放 1：得到 12。
• 十位放 2：22 里数字重复了，不行。
• 十位放 3：得到 32。

这一组只有 2 个：12、32。

4. 两组加起来：为什么可以直接相加

$$3+2=5\text{（个）}$$

相加之前，要检查两件事：

1. 有没有漏掉一组？ 偶数的个位只有 0、2 两种可能，两组都数过了。
2. 有没有哪个数被数了两次？ 一个数只有一个个位，不会同时进两组。

两条都过关，加起来才是对的。这比“我又数了一遍”更让人放心。

什么时候不能直接相加

换一种分法试试：按“含有 1”和“含有 2”分组。12 两组都进，被数了两次；30 哪一组都不进，被漏掉了。这样分，就不能直接相加。

分类的办法可以换，但是要相加，必须做到：每个数都进了一组，而且只进一组。

下次遇到“一共有多少个”的题

先找限制最多的位置，用它来分组；每一组里按顺序一个一个试；最后检查“有没有漏掉、有没有重复”，再相加。

检查自己是否看懂

还是用 0、1、2、3 这四个数字组成两位偶数，现在允许同一个数里的数字重复。原来的分法还能用吗？一共有几个？多出来的是哪个数？

查看答案与理由

还能用，一共 6 个，多出来的是 22。偶数还是看个位，个位还是只有 0、2 两种，两组还是不漏、不重复。

个位是 0 的一组没有变：允许重复，也不能让 00 变成两位数，还是 10、20、30。个位是 2 的一组，十位现在也可以放 2，变成 12、22、32。所以一共 $3+3=6$ 个。

变的只是每一组里能放哪些十位；分组的办法，和“十位不能是 0”，都没有变。