逆向思考：从最后一步退回去

题目

一个数先乘 3，再加 5，最后除以 2，得到 16。这个数原来是多少？

先备知识

这课需要用到加减、乘除，以及“互相还原”的关系：一个数加上 5 后，减去 5 就回到原数；乘上 3 后，除以 3 就回到原数。把计算倒过来还原，叫作做逆运算。这道题可以直接用这些关系推理，不需要先设未知数列方程。

例题答案：原来的数是 9。

起点不知道，可以从哪里开始？

从开头算，会遇到“谁乘 3”的问题：原数还不知道，计算无法推进。结尾却给出了确定的 16。值得先找的是：紧挨着 16 的那一步做了什么？ 原来最后除以了 2。一个数除以 2 得到 16，除之前就是两个 16，也就是 32。于是我们先恢复了离已知结果最近的状态。

沿着原来的路，一步一步退回

恢复到 32 后，先停一下：32 对应原过程中哪个位置？它是“加 5”之后、“除以 2”之前的数。要继续向前退，就要撤销加 5，所以减去 5 得到 27。

27 又是哪一步的结果？它是原数乘 3 后的数。把这个结果平均分成 3 份，每份就是原数，因此得到 9。

$$\begin{aligned}16\times2&=32\\32-5&=27\\27\div3&=9\end{aligned}$$

也可以合成一个算式。括号记录的是退回的次序，不能随意省掉：

$$(16\times2-5)\div3=9$$

为什么不能只把运算符号换一下？

如果看到原来先乘 3，就从 16 开始先除以 3，虽然选到了乘 3 的逆运算，撤销的时机却不对。16 已经经历了后面的加 5 和除以 2，它不是“刚乘完 3”的结果。必须先清除后两步的影响，才能还原最早那一步。

算出原数后，沿题目规定的方向走一遍，检查每一步都对应原条件：

$$\begin{aligned}9\times3&=27\\27+5&=32\\32\div2&=16\end{aligned}$$

什么时候能用这条思路？

关键是每一步的操作、次序已知，而且能确定地还原。这里乘除的数都不为零，能够逆向恢复。如果某一步是乘 0，不同的原数都会变成 0，只凭结果就无法找回唯一原数。倒着算有依据的前提，是信息没有在途中丢失。

自测：顺序变了，倒推还能照抄吗？

仍然得到 16，但操作改为“先加 5，再乘 3，最后除以 2”。先说倒推的第一步和第二步各是什么，再求原数。为什么不能沿用例题的整条倒推算式？

展开核对答案与理由

先乘 2，得到 32；这时要撤销的是乘 3，所以接着除以 3，最后才减去 5。第二步恢复的对象已经变了，不能继续先减 5。

$$16\times2\div3-5=\frac{32}{3}-5=\frac{17}{3}$$

原数可以是分数，题目没有要求它是整数。核对：它加 5 得到 $\frac{32}{3}$；再乘 3 得到 32，最后除以 2 得到 16。真正要迁移的是“从最后一步按逆序还原”，而不是记住一串固定符号。