逆向思考：从最后一步退回去

题目

一个数先乘 3，再加 5，最后除以 2，得到 16。这个数原来是多少？

答案：原来的数是 9。

一句话：从结果 16 往回走——最后做的一步最先撤销：× 2，− 5，÷ 3。

先看动画。上面一排箭头是题目做过的运算，下面一排箭头把它们一个一个撤销。讲解分成六小段，每段讲完会自动停下，留一个“想一想”；想好了再点“继续讲解”。听完后切到“我自己试”，换一个结果，或者换一种运算次序，自己倒推一遍。

下面几节是动画里讲过的内容，写成文字方便以后复查。只需要会：加减乘除，以及“加 5 再减 5 会回到原数、乘 3 再除以 3 会回到原数”。不用设未知数、列方程。

1. 把题目画成一排格子

$$\boxed{\ ?\ }\xrightarrow{\times3}\boxed{\ ?\ }\xrightarrow{+5}\boxed{\ ?\ }\xrightarrow{\div2}\boxed{16}$$

四个格子里，只有最后一个是知道的。从左边算不动，就从右边出发。

2. 从最后一步往回退

每次只退一步，退回紧挨着的前一个格子：

1. 撤销“除以 2”。 一个数除以 2 得 16，它原来就是两个 16，也就是 32。
2. 撤销“加 5”。 32 是加 5 以后的数，退回去就减 5，得 27。
3. 撤销“乘 3”。 27 是原来的数乘 3 得到的，平均分成 3 份，每份是 9。

$$\begin{aligned}16\times2&=32\\32-5&=27\\27\div3&=9\end{aligned}$$

也可以写成一个算式。括号记住退回的次序，不能随便去掉：

$$(16\times2-5)\div3=9$$

像加和减、乘和除这样能互相还原的两种运算，叫互为逆运算。“倒着算”其实就是一步一步做逆运算。

3. 顺着走一遍，检查

把 9 放回开头，按题目的顺序走：

$$\begin{aligned}9\times3&=27\\27+5&=32\\32\div2&=16\end{aligned}$$

每一步都和题目对上了，答案 9 是对的。

4. 次序为什么也要反过来

什么时候不能倒推

倒推要求每一步都能原样退回去。如果某一步是“乘 0”，不管原来是几，结果都变成 0，只看结果就找不回原来的数了。另外，题目每一步做了什么、先后次序是什么，也都得知道。

下次遇到“知道结果、不知道开头”的题

把过程画成一排格子，从知道的那一头出发。最后做的最先撤销，每一步用反面的运算。算完以后，顺着走一遍检查。

检查自己是否看懂

还是得到 16，但次序改成：先加 5，再乘 3，最后除以 2。 倒推的第一步、第二步各是什么？原来的数是多少？为什么不能照抄例题的算式？

查看答案与理由

原来的数是 17/3。先乘 2，得 32；这时紧挨着的一步是“乘 3”，所以接着除以 3，得 32/3；最后才减 5。

$$16\times2\div3-5=\frac{32}{3}-5=\frac{17}{3}$$

原来的数可以是分数，题目没说它是整数。检查：17/3 加 5 得 32/3，乘 3 得 32，除以 2 得 16。

运算的次序变了，撤销的次序也跟着变：第二步要撤销的是“乘 3”，不再是“加 5”。要带走的是“最后做的最先撤销”，不是一串固定的算式。